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리 군론에서, 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 멱영 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.

목차

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 표수가 2가 아닌  
  •   위의 심플렉틱 벡터 공간  

그렇다면,  -벡터 공간

 

위에 다음과 같은 군 연산을 주자.

 

이는 의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은

 

이며, 그 역원은

 

이다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군  라고 한다.

보통  가 명시되어 있지 않은 경우,  인 경우에 해당한다. 즉,  를 의미한다.

리 대수편집

표수가 2가 아닌 체   위의 심플렉틱 벡터 공간  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 공간   위에 다음과 같은 리 대수 구조를 줄 수 있다.

 

이를 하이젠베르크 리 대수(영어: Heisenberg Lie algebra)  라고 한다.

 가 유한   차원일 때, 심플렉틱 기저  를 잡을 수 있다.   위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.

 
 

여기서  크로네커 델타이다.

성질편집

하이젠베르크 군  아벨 군  중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 들의 짧은 완전열이 존재한다.

 

마찬가지로, 다음과 같은 리 대수짧은 완전열이 존재한다.

 

여기서   아벨 리 대수이다.

표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다.

위상수학적 성질편집

만약  일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간미분 동형이다.

행렬 표현편집

표수 0의 체   위의 내적 공간  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

 

위에 다음과 같은, 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조가 존재한다.

 
 

그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

 
 

지수 사상편집

하이젠베르크 군  리 대수  는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.

 

이 경우, 리 지수 사상은 다음과 같다.

 

표현론편집

하이젠베르크 군의 군 표현론스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군  의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 르베그 공간   위의 다음과 같은 표현  와 동형이다.

 

이를 리 대수  에 대하여 표기하면 다음과 같다.

 
 
 

참고 문헌편집

외부 링크편집