헬름홀츠 방정식

수학에서, 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 물리학에서 자주 등장한다. 독일의 물리학자생리학자 헤르만 폰 헬름홀츠의 이름을 땄다.

평면에서 두 개의 방사하는 소스, 주어진 함수 는 블루 지역에서 제로를 의미한다.
다음 실수영역이며, 는 비동차(inhomogeneous) 헬름홀츠 방정식의 해이다

정의편집

 차원 유클리드 공간 위에 함수  을 생각해 보자. 그렇다면  에 대한 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

 

여기서  라플라스 연산자이고,  는 상수다.

2차원 헬름홀츠 방정식편집

극좌표계에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

 .

여기서   베셀 함수다. 만약  가 원점  에서 연속적이려면 ( 은 원점에서 발산하므로)  이어야 한다.

3차원 헬름홀츠 방정식편집

구면좌표계에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

 .

여기서   구면 베셀 함수이고,  구면 조화 함수다.

응용편집

 이 음수일 때, 헬름홀츠 방정식은 (유클리드 계량 부호수)에서의) 클라인-고든 방정식이 된다. 따라서, 헬름홀츠 방정식의 그린 함수

 

는 점입자의 퍼텐셜이 된다. 유클리드 공간  에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서  이다.

차원 그린 함수  인 그린 함수
2    
3    
n>2    

여기서

  ( )

는 반지름이 1인  차원 초구의 (초)면적이고,  감마 함수다.  베셀 함수의 하나다.  인 경우 헬름홀츠 방정식은 푸아송 방정식이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 익숙한 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한  의 경우, 이 퍼텐셜은 잘 알려진 유카와 퍼텐셜이다.

같이 보기편집

참고 문헌편집