2차원 𝒩=4 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초등각 장론(二次元${\mathcal {N}}=4$超等角場論, 영어: two-dimensional ${\mathcal {N}}=4$ superconformal theory)은 네 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다.

정의

2차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

기호	이름	무게 $h$	SU(2) R대칭 표현	페르미온 수 $F$
$T(z)$	에너지-운동량 텐서	2	1	0
$G^{a}(z)$	초전류	3/2	$\mathbf {2}$	+1
${\bar {G}}^{\bar {a}}(z)$	초전류	3/2	${\bar {\mathbf {2} }}$	−1
$J^{i}(z)$	R대칭 보존류	1	$\mathbf {3} ={\mathfrak {su}}(2)$	0
$k$	중심 원소	0	1	0

위 표에서 $G^{a}$를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, $G^{a}$의 에르미트 수반은 ${\bar {G}}^{\bar {a}}$이다.

중심 원소 $k=0,1,2,3,\dots$는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 $c$는 다음과 같다.

$c=6k=0,6,12,18,\dots$

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 $\cdots$는 $z\to 0$에서 비특이항을 나타낸다.

$T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots$

$T(z)G(0)={\frac {3}{2}}z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots$

$T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots$

$J^{i}(z)J^{j}(0)={\frac {1}{2}}kz^{-2}\delta ^{ij}+iz^{-1}\epsilon ^{ijk}J^{k}+\cdots$

$J^{i}(z)G^{a}(0)=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}z^{-1}G^{b}(0)+\cdots$

$G^{a}(z){\bar {G}}^{\bar {b}}(0)=4k\delta ^{ab}z^{-3}-4\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}z^{-2}J^{i}(0)+z^{-1}\left(2\delta ^{ab}T(z)-2\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}\partial J^{i}(0)\right)+\cdots$

이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.

$T(z)=\sum _{n}z^{n-2}L_{-n}$

$G(z)=\sum _{r\in \mathbb {Z} +\eta }z^{r-3/2}G_{-r}$

$J^{i}(z)=\sum _{n}z^{n-1}J_{-n}^{i}$

여기서 NS 경계 조건의 경우 $\eta =0$이며 R 경계 조건의 경우 $\eta =1/2$이다.

그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{2}}k(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}$

$[L_{m},G_{r}^{a}]=(m/2-r)G_{m+r}^{a}$

$[L_{m},J_{n}^{i}]=-nJ_{m+n}^{i}$

$[J_{m}^{i},J_{n}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{m+n}^{k}+{\frac {1}{2}}mk\delta ^{ij}\delta _{m+n,0}$

$[J_{m}^{i},G_{r}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{m+r}^{b}$

$\{G_{r}^{a},G_{s}^{b}\}=0$

$\{G_{r}^{a},{\bar {G}}_{s}^{\bar {b}}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{r+s}-2(r-s)\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}J_{r+s}^{i}+{\frac {1}{2}}k(4r^{2}-1)\delta _{r+s,0}$

대역적 대수

NS 대수에서, $L_{\pm 1}$, $L_{0}$, $G_{\pm 1/2}^{a}$, ${\bar {G}}_{\pm 1/2}^{\bar {a}}$, $J_{0}^{i}$는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다.

$[L_{1},L_{-1}]=2L_{0}$

$[L_{\pm 1},L_{0}]=\pm L_{0}$

$[G_{\pm 12}^{a},L_{0}]=\pm {\frac {1}{2}}G_{\pm 12}^{a}$

$[L_{1},G_{1/2}^{a}]=[L_{-1},G_{-1/2}^{a}]=0$

$[L_{\pm 1},G_{\mp 1/2}^{a}]=\pm G_{\pm 1/2}^{a}$

$[J_{0}^{i},L_{0}]=[J_{0}^{i},L_{\pm 1}]=0$

$[J_{0}^{i},J_{0}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{0}^{k}$

$\{G_{\pm 1/2}^{a},G_{\pm 1/2}^{b}\}=\{G_{\pm 1/2}^{a},G_{\mp 1/2}^{b}\}=0$

$\{G_{\pm 1/2}^{a},{\bar {G}}_{\pm 1/2}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{\pm 1}$

$\{G_{\pm 1/2}^{a},{\bar {G}}_{\mp 1/2}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{0}\mp \sigma _{a{\bar {b}}}^{i}J_{0}^{i}$

$[J_{0}^{i},G_{\pm 1/2}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{\pm 1/2}^{b}$

마찬가지로, R 대수에서, $L_{0}$, $G_{0}^{a}$, ${\bar {G}}_{0}^{\bar {a}}$, $J_{0}^{i}$, $k$는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다.

$[L_{0},L_{0}]=[G_{0}^{a},L_{0}]=[{\bar {G}}_{0}^{\bar {a}},L_{0}]=0$

$[J_{0}^{i},L_{0}]=[J_{0}^{i},L_{\pm 1}]=0$

$[J_{0}^{i},J_{0}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{0}^{k}$

$\{G_{0}^{a},G_{0}^{b}\}=0$

$\{G_{0}^{a},{\bar {G}}_{0}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{0}-{\frac {1}{2}}k$

$[J_{0}^{i},G_{0}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{0}^{b}$

표현

2차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 $h$ 및 SU(2) 아이소스핀 $l=0,1/2,1,\dots$에 따라 분류된다. 이는 유질량 표현(영어: massive representation)과 무질량 표현(영어: massless representation)으로 나뉜다.

	NS 경계 조건	R 경계 조건
무질량 표현	$h=k/4$, $0\leq l\leq k/2$	$h=l$, $0\leq l\leq k/2$
유질량 표현	$h>k/4$, $0\leq l\leq k/2-1/2$	$h>l$, $1/2\leq l\leq k/2$

유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식을 만족시킨다.

$h\geq k/4\qquad ({\text{NS}})$

$h\geq |l|\qquad ({\text{R}})$

무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.

분배 함수

${\mathcal {N}}=4$ 초등각 장론에서는 ${\mathcal {N}}=2$인 경우와 달리 $(-1)^{F}\neq (-1)^{J_{0}}$이며, 따라서 분배 함수에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하) $q$에 대한 퓨가시티 $z$와 페르미온 수 $F$에 대한 퓨가시티 $y$를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다.

$Z(q,z,y)=\sum _{(h,q,F)}q^{h-k/4}z^{q}y^{F}$

이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.

예

초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 ${\mathcal {N}}=(4,4)$ 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, $4k$ 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가 $k$인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 $k=1$이다.

응용

${\mathcal {N}}=4$ 초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여 ${\mathcal {N}}=4$ 위상 끈 이론을 정의할 수 있다.

참고 자료

• Sevrin, A.; Troost, W.; Van Proeyen, A. (1988년 7월 21일). “Superconformal algebras in two dimensions with $N=4$”. 《Physics Letters B》 (영어) 208 (3–4): 447–450. Bibcode:1988PhLB..208..447S. doi:10.1016/0370-2693(88)90645-4. 
• Schwimmer, Adam; Seiberg, Nathan (1987년 1월 29일). “Comments on the $N=2,3,4$ superconformal algebras in two dimensions”. 《Physics Letters B》 (영어) 184 (2–3): 191–196. Bibcode:1987PhLB..184..191S. doi:10.1016/0370-2693(87)90566-1. 
• Ooguri, Hirosi (1989년 10월 20일). “Superconformal symmetry and geometry of Ricci-flat Kähler manifolds” (PDF). 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 4 (17): 4303. Bibcode:1989IJMPA...4.4303O. doi:10.1142/S0217751X89001801. 

같이 보기

• 2차원 등각 장론
• 2차원 𝒩=1 초등각 장론
• 2차원 𝒩=2 초등각 장론