์ฃผ ๋ฉ”๋‰ด ์—ด๊ธฐ

2์ฐจ์› ๐’ฉ=4 ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ์žฅ๋ก 

์–‘์ž์žฅ๋ก ์—์„œ, 2์ฐจ์› ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ์žฅ๋ก (ไบŒๆฌกๅ…ƒ่ถ…็ญ‰่ง’ๅ ด่ซ–, ์˜์–ด: two-dimensional superconformal theory)์€ ๋„ค ๊ฐœ์˜ ์ดˆ๋Œ€์นญ์„ ๊ฐ€์ง€๋Š” 2์ฐจ์› ๋“ฑ๊ฐ ์žฅ๋ก ์ด๋‹ค.

์ •์˜ํŽธ์ง‘

2์ฐจ์› ย  ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ๋Œ€์ˆ˜์˜ ์ƒ์„ฑ์›์€ ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™๋‹ค.

๊ธฐํ˜ธ ์ด๋ฆ„ ๋ฌด๊ฒŒ ย  SU(2) R๋Œ€์นญ ํ‘œํ˜„ ํŽ˜๋ฅด๋ฏธ์˜จ ์ˆ˜ ย 
ย  ์—๋„ˆ์ง€-์šด๋™๋Ÿ‰ ํ…์„œ 2 1 0
ย  ์ดˆ์ „๋ฅ˜ 3/2 ย  +1
ย  ์ดˆ์ „๋ฅ˜ 3/2 ย  โˆ’1
ย  R๋Œ€์นญ ๋ณด์กด๋ฅ˜ 1 ย  0
ย  ์ค‘์‹ฌ ์›์†Œ 0 1 0

์œ„ ํ‘œ์—์„œ ย ๋ฅผ ์ œ์™ธํ•œ ๋‹ค๋ฅธ ์ƒ์„ฑ์›๋“ค์€ ๋ชจ๋‘ ์—๋ฅด๋ฏธํŠธ ์žฅ์ด๋ฉฐ, ย ์˜ ์—๋ฅด๋ฏธํŠธ ์ˆ˜๋ฐ˜์€ ย ์ด๋‹ค.

์ค‘์‹ฌ ์›์†Œ ย ๋Š” SU(2) ์•„ํ•€ ๋ฆฌ ๋Œ€์ˆ˜์˜ ์ค€์œ„์™€ ๊ฐ™๋‹ค. ๋น„๋ผ์†Œ๋กœ ์ค‘์‹ฌ ์ „ํ•˜ ย ๋Š” ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™๋‹ค.

ย 

์ด๋“ค์˜ ์—ฐ์‚ฐ์ž ๊ณฑ ์ „๊ฐœ๋Š” ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™๋‹ค. ์—ฌ๊ธฐ์„œ ย ๋Š” ย ์—์„œ ๋น„ํŠน์ดํ•ญ์„ ๋‚˜ํƒ€๋‚ธ๋‹ค.

ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 

์ด๋“ค์€ ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™์€ ๋ชจ๋“œ ์ „๊ฐœ๋ฅผ ๊ฐ–๋Š”๋‹ค.

ย 
ย 
ย 

์—ฌ๊ธฐ์„œ NS ๊ฒฝ๊ณ„ ์กฐ๊ฑด์˜ ๊ฒฝ์šฐ ย ์ด๋ฉฐ R ๊ฒฝ๊ณ„ ์กฐ๊ฑด์˜ ๊ฒฝ์šฐ ย ์ด๋‹ค.

๊ทธ๋ ‡๋‹ค๋ฉด ๋ชจ๋“œ ์ „๊ฐœ์˜ ๋ฆฌ ๊ด„ํ˜ธ๋Š” ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™๋‹ค.[1]

ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 

๋Œ€์—ญ์  ๋Œ€์ˆ˜ํŽธ์ง‘

NS ๋Œ€์ˆ˜์—์„œ, ย , ย , ย , ย , ย ๋Š” ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™์ด ๋ถ€๋ถ„ ๋ฆฌ ์ดˆ๋Œ€์ˆ˜๋ฅผ ์ด๋ฃฌ๋‹ค. ์ด๋Š” ๋Œ€์—ญ์ ์œผ๋กœ ์ •์˜๋˜๋Š” ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ๋ณ€ํ™˜๋“ค์˜ ๋ฆฌ ์ดˆ๋Œ€์ˆ˜์ด๋‹ค.

ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 

๋งˆ์ฐฌ๊ฐ€์ง€๋กœ, R ๋Œ€์ˆ˜์—์„œ, ย , ย , ย , ย , ย ๋Š” ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™์ด ๋ถ€๋ถ„ ๋ฆฌ ์ดˆ๋Œ€์ˆ˜๋ฅผ ์ด๋ฃฌ๋‹ค.

ย 
ย 
ย 
ย 
ย 
ย 

ํ‘œํ˜„ํŽธ์ง‘

2์ฐจ์› ย  ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ๋Œ€์ˆ˜์˜ ์œ ๋‹ˆํ„ฐ๋ฆฌ ํ‘œํ˜„์€ ์ดˆ1์ฐจ์žฅ์˜ ๋“ฑ๊ฐ ๋ฌด๊ฒŒ ย  ๋ฐ SU(2) ์•„์ด์†Œ์Šคํ•€ ย ์— ๋”ฐ๋ผ ๋ถ„๋ฅ˜๋œ๋‹ค. ์ด๋Š” ์œ ์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„(์˜์–ด: massive representation)๊ณผ ๋ฌด์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„(์˜์–ด: massless representation)์œผ๋กœ ๋‚˜๋‰œ๋‹ค.[2]

NS ๊ฒฝ๊ณ„ ์กฐ๊ฑด R ๊ฒฝ๊ณ„ ์กฐ๊ฑด
๋ฌด์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„ ย , ย  ย , ย 
์œ ์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„ ย , ย  ย , ย 

์œ ๋‹ˆํ„ฐ๋ฆฌ ์ด๋ก ์˜ ๊ฒฝ์šฐ, ํž๋ฒ ๋ฅดํŠธ ๊ณต๊ฐ„์˜ ๋ชจ๋“  ์ƒํƒœ๋Š” ๋‹ค์Œ BPS ๋ถ€๋“ฑ์‹์„ ๋งŒ์กฑ์‹œํ‚จ๋‹ค.

ย 
ย 

๋ฌด์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„์€ ์ด BPS ๋ถ€๋“ฑ์‹์„ ํฌํ™”์‹œํ‚จ๋‹ค. ์œ ์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„์€ ์œ„ํŠผ ์ง€ํ‘œ๊ฐ€ 0์ด์ง€๋งŒ, ๋ฌด์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„์€ ์œ„ํŠผ ์ง€ํ‘œ๊ฐ€ 0์ด ์•„๋‹ˆ๋‹ค. ์œ ์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„์—์„œ BPS ๋ถ€๋“ฑ์‹์„ ํฌํ™”์‹œํ‚ค๋Š” ๊ทนํ•œ์„ ์ทจํ•˜๋ฉด ์ด๋Š” ๋ฌด์งˆ๋Ÿ‰ ํ‘œํ˜„์œผ๋กœ ๋ถ„ํ•ด๋œ๋‹ค.

๋ถ„๋ฐฐ ํ•จ์ˆ˜ํŽธ์ง‘

ย  ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ์žฅ๋ก ์—์„œ๋Š” ย ์ธ ๊ฒฝ์šฐ์™€ ๋‹ฌ๋ฆฌ ย ์ด๋ฉฐ, ๋”ฐ๋ผ์„œ ๋ถ„๋ฐฐ ํ•จ์ˆ˜์—๋Š” ์•„์ด์†Œ์Šคํ•€ (SU(2) R๋Œ€์นญ์˜ ์นด๋ฅดํƒ• ๋ถ€๋ถ„๊ตฐ U(1)์— ๋Œ€ํ•œ ์ „ํ•˜) ย ์— ๋Œ€ํ•œ ํ“จ๊ฐ€์‹œํ‹ฐ ย ์™€ ํŽ˜๋ฅด๋ฏธ์˜จ ์ˆ˜ ย ์— ๋Œ€ํ•œ ํ“จ๊ฐ€์‹œํ‹ฐ ย ๋ฅผ ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™์ด ๋…๋ฆฝ์ ์œผ๋กœ ์‚ฝ์ž…ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค.[2]

ย 

์ด ํ•ฉ์€ NS ๊ฒฝ๊ณ„ ์กฐ๊ฑด ๋˜๋Š” R ๊ฒฝ๊ณ„ ์กฐ๊ฑด์—์„œ ์ทจํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค.

์˜ˆํŽธ์ง‘

์ดˆ์ผˆ๋Ÿฌ ๋‹ค์–‘์ฒด ์œ„์˜ 2์ฐจ์› ์‹œ๊ทธ๋งˆ ๋ชจํ˜•์€ ย  ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ์žฅ๋ก ์„ ์ด๋ฃฌ๋‹ค. ์ด ๊ฒฝ์šฐ, ย  ์‹ค์ˆ˜ ์ฐจ์›์˜ ์ดˆ์ผˆ๋Ÿฌ ๋‹ค์–‘์ฒด๋Š” SU(2) ์•„ํ•€ ๋ฆฌ ๋Œ€์ˆ˜ ์ค€์œ„๊ฐ€ ย ์ธ ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ์žฅ๋ก ์„ ์ด๋ฃฌ๋‹ค. K3 ๊ณก๋ฉด ์œ„์˜ ์‹œ๊ทธ๋งˆ ๋ชจํ˜•์ด ๋Œ€ํ‘œ์ ์ธ ์˜ˆ์ด๋ฉฐ, ์ด ๊ฒฝ์šฐ ย ์ด๋‹ค.

์‘์šฉํŽธ์ง‘

ย  ์ดˆ๋“ฑ๊ฐ ์žฅ๋ก ์— ์œ„์ƒ ๋’คํ‹‚์„ ๊ฐ€ํ•˜์—ฌ ย  ์œ„์ƒ ๋ˆ ์ด๋ก ์„ ์ •์˜ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค.[3]

์ฐธ๊ณ  ๋ฌธํ—ŒํŽธ์ง‘

  1. โ†‘ Eguchi, Tohru; Taormina, Anne (1987๋…„ 9์›” 24์ผ). โ€œUnitary representations of the ย  superconformal algebraโ€. ใ€ŠPhysics Letters Bใ€‹ (์˜์–ด) 196 (1): 75โ€“81. Bibcode:1987PhLB..196...75E. doi:10.1016/0370-2693(87)91679-0.ย  |์ œ๋ชฉ=์— ์ง€์›€ ๋ฌธ์ž๊ฐ€ ์žˆ์Œ(์œ„์น˜ 32) (๋„์›€๋ง)
  2. โ†‘ ๊ฐ€ ๋‚˜ Eguchi, Tohru; Taormina, Anne (1988๋…„ 8์›” 18์ผ). โ€œOn the unitary representations of ย  and ย  superconformal algebrasโ€ (PDF). ใ€ŠPhysics Letters Bใ€‹ (์˜์–ด) 210 (1โ€“2): 125โ€“132. Bibcode:1988PhLB..210..125E. doi:10.1016/0370-2693(88)90360-7.ย  |์ œ๋ชฉ=์— ์ง€์›€ ๋ฌธ์ž๊ฐ€ ์žˆ์Œ(์œ„์น˜ 35) (๋„์›€๋ง)
  3. โ†‘ Berkovits, Nathan; Vafa, Cumrun. โ€œแ…Ÿย  topological stringsโ€ (์˜์–ด). arXiv:hep-th/9407190. doi:10.1016/0550-3213(94)00419-F.ย  |์ œ๋ชฉ=์— ์ง€์›€ ๋ฌธ์ž๊ฐ€ ์žˆ์Œ(์œ„์น˜ 2) (๋„์›€๋ง)

๊ฐ™์ด ๋ณด๊ธฐํŽธ์ง‘