2차원 𝒩=4 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 초등각 장론(二次元超等角場論, 영어: two-dimensional superconformal theory)은 네 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다.

정의

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2차원   초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

기호 이름 무게   SU(2) R대칭 표현 페르미온 수  
  에너지-운동량 텐서 2 1 0
  초전류 3/2   +1
  초전류 3/2   −1
  R대칭 보존류 1   0
  중심 원소 0 1 0

위 표에서  를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며,  의 에르미트 수반은  이다.

중심 원소  는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하  는 다음과 같다.

 

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서   에서 비특이항을 나타낸다.

 
 
 
 
 
 

이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.

 
 
 

여기서 NS 경계 조건의 경우  이며 R 경계 조건의 경우  이다.

그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.[1]

 
 
 
 
 
 
 

대역적 대수

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NS 대수에서,  ,  ,  ,  ,  는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

마찬가지로, R 대수에서,  ,  ,  ,  ,  는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다.

 
 
 
 
 
 

표현

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2차원   초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게   및 SU(2) 아이소스핀  에 따라 분류된다. 이는 유질량 표현(영어: massive representation)과 무질량 표현(영어: massless representation)으로 나뉜다.[2]

NS 경계 조건 R 경계 조건
무질량 표현  ,    ,  
유질량 표현  ,    ,  

유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식을 만족시킨다.

 
 

무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.

분배 함수

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  초등각 장론에서는  인 경우와 달리  이며, 따라서 분배 함수에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하)  에 대한 퓨가시티  페르미온 수  에 대한 퓨가시티  를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다.[2]

 

이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.

초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형  초등각 장론을 이룬다. 이 경우,   실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가  인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우  이다.

응용

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  초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여   위상 끈 이론을 정의할 수 있다.[3]

참고 자료

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같이 보기

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각주

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  1. Eguchi, Tohru; Taormina, Anne (1987년 9월 24일). “Unitary representations of the   superconformal algebra”. 《Physics Letters B》 (영어) 196 (1): 75–81. Bibcode:1987PhLB..196...75E. doi:10.1016/0370-2693(87)91679-0.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 32) (도움말)
  2. Eguchi, Tohru; Taormina, Anne (1988년 8월 18일). “On the unitary representations of   and   superconformal algebras” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 210 (1–2): 125–132. Bibcode:1988PhLB..210..125E. doi:10.1016/0370-2693(88)90360-7.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 35) (도움말)
  3. Berkovits, Nathan; Vafa, Cumrun. “ᅟ  topological strings” (영어). arXiv:hep-th/9407190. doi:10.1016/0550-3213(94)00419-F.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 2) (도움말)