위상 끈 이론

이론물리학에서 위상 끈 이론(位相끈理論, 영어: topological string theory)는 끈 이론의 단순한 종류의 하나이다.[1] 이 경우, 세계면 위에 존재하는 이론은 통상적인 끈 이론과 달리, 국소적인 자유도를 갖지 않는다. 정확히 말하자면, 위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 위튼형 위상 양자장론을 이룬다. A형과 B형 두 종류가 있으며, 이들은 서로 거울 대칭에 의하여 연관된다.

전개

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위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원   초등각 장론이다. (이는 일반적인 끈 이론의   초대칭과 다르다.) 이 경우 R대칭은 U(1)V×U(1)A이다. 이 두 성분 가운데 하나를 로런츠 대칭 SO(2)=U(1)E과 대응시켜, 위상적 뒤틂(topological twist)을 가하여 위튼형 위상 양자장론을 만들 수 있다. U(1)V로 뒤틀면 A-모형(영어: A-model), U(1)A로 뒤틀면 B-모형(영어: B-model)을 얻는다.

만약 세계면 이론이 등각 대칭을 갖지 않는다면 U(1)A 대칭은 깨지게 된다. 이 경우는 오직 A-모형만을 정의할 수 있다. 예를 들어, 과녁 공간이 (칼라비-야우 다양체이 아닌) 켈러 다양체시그마 모형의 경우, 오직 A-모형만이 존재한다.

반대로, 과녁 공간이  이고 초퍼텐셜을 가진 란다우-긴즈부르크 모형(영어: Landau–Ginzburg model)의 경우, 초퍼텐셜이 특수한 형태가 아니라면 U(1)V 대칭이 고전적으로 깨지게 된다. 이 경우는 오직 B-모형만을 정의할 수 있다.

A-모형과 B-모형은 거울 대칭에 의하여 서로 연관된다.

성질 A-모형 B-모형
뒤트는 대칭 U(1)V U(1)A
과녁 공간의 조건 (일반화) 켈러 다양체 복소다양체
매장 사상  의 국소화 조건 정칙 함수 상수 함수
초대칭 D-막 특수 라그랑주 부분다양체(영어: special Lagrangian submanifold) 정칙 부분다양체
손지기 환(chiral ring) (a,c) 환 (c,c) 환
란다우-긴즈부르크 모형의 손지기 환 자명함   (초퍼텐셜  를 가진  차원 란다우-긴즈부르크 모형)[1]:§16.4.2
시그마 모형의 손지기 환 양자 코호몰로지(quantum cohomology)
(벡터 공간으로서 드람 코호몰로지  와 같지만 환 연산이 다름. 큰 부피 극한에서는 드람 코호몰로지로 수렴)[1]:§16.4.1
접다발외대수 다발의 돌보 코호몰로지  [1]:§16.4.3
정칙 변칙의 존재 여부 없음 있음 (BRST 불변 관측가능량이 모듈러스 공간 위에서 정칙함수가 아닐 수 있음)
관련된 범주 후카야 범주(Fukaya category) 연접층의 범주

위상 시그마 모형

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 이 콤팩트 칼라비-야우 다양체라고 하고,  가 콤팩트 리만 곡면(=세계면)이라고 하자. 그렇다면   위에 2차원   시그마 모형을 다음과 같이 정의하자.

  •  매끄러운 함수이다. 여기서   의 (비정칙) 접다발의 전체 공간이며, 이 경우  이다.

이들은 손지기 초장[2]:(5.2)

 

으로 포함하여 쓸 수 있다. (나머지 성분들은 보조장이거나,   의 도함수로 구성된다.) 이들은 R대칭에 대하여 다음과 같은 전하를 갖는다.[2]:(5.23)

U(1)V 전하 U(1)A 전하 스핀  
  0 0 −1
  0 0 +1
  −1 −1 −½
  +1 −1 −½
  −1 +1
  +1 −1
  0 0 0
  +1 +1
  −1 −1
  +1 −1 −½
  −1 +1 −½

즉, 초장  는 로런츠 스칼라이자 모든 R대칭에 대하여 중성이다. 기호에서 윗첨자 ±는 뒤틀기 전 로런츠 스핀을 나타내며, 아랫첨자 ±는 로런츠 스핀의 반대 부호이다.

이 시그마 모형의 두 가지 위상 뒤틂은 각각 다음과 같다.[2]:(5.50), (5.67)

뒤틂        
뒤틀기 이전 스핀 +½,   스핀 +½,   스핀 −½,   스핀 −½,  
A뒤틂   스핀 +1,   스핀 0,   스핀 0,   스핀 −1,  
B뒤틂   스핀 +1,   스핀 0,   스핀 −1,   스핀 0,  

다른 이론과의 관계

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A모형의 관측 가능량들은 수학적으로 그로모프-위튼 불변량(영어: Gromov–Witten invariant)이라는 이름으로 엄밀히 정의되며, 이는 양자 코호몰로지(영어: quantum cohomology)를 정의한다.

유효 이론

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일반적으로, (초)끈 이론은 낮은 에너지에서 (초)중력 유효 이론을 이룬다. A형 위상 끈 이론의 유효 이론은 켈러 중력(영어: Kähler gravity)이라고 불리며,[3] 특수한 경우 천-사이먼스 이론으로 해석할 수 있다.[4] B형 위상 끈 이론의 유효 이론은 고다이라-스펜서 중력(영어: Kodaira–Spencer gravity)이다.[5]

쌍대성

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고파쿠마르-바파 쌍대성(영어: Gopakumar–Vafa duality)에 따르면, 코니폴드 위의 열린 끈 A모형은 U(N) 천-사이먼스 이론의 큰   극한과 같다.[6] 이는 라제시 고파쿠마르캄란 바파가 발견하였다.

A모형 위상 끈 이론은 또한 통계역학의 결정 융해 모형과 서로 쌍대적이라고 추측된다.[7][8]

초대칭 게이지 이론

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A모형 위상 끈 이론은 4차원 또는 5차원   초대칭 게이지 이론의 프리퍼텐셜(영어: prepotential)을 계산하는 데 쓰인다. B모형 위상 끈 이론은 4차원   초대칭 게이지 이론의 초퍼텐셜(영어: superpotential)을 계산하는 데 쓰인다.

A모형 계산은 또한 BPS 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산하는 데 쓰인다.[9]

역사

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에드워드 위튼이 1988년에 도입하였다.[10]

같이 보기

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각주

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  1. Hori, Kentaro; Sheldon Katz, Albrecht Klemm, Rahul Pandharipande, Richard Thomas, Cumrun Vafa, Ravi Vakil, Eric Zaslow (2003). 《Mirror Symmetry》 (PDF). Clay Mathematical Monographs 1. American Mathematical Society/Clay Mathematical Institute. ISBN 0-8218-2955-6. MR 2003030. Zbl 1044.14018. 
  2. Vonk, Marcel (2005). “A mini-course on topological strings” (영어). arXiv:hep-th/0504147. Bibcode:2005hep.th....4147V. 
  3. Bershadsky, Michael; Sadov, Vladimir. “Theory of Kähler Gravity” (영어). arXiv:hep-th/9410011. 
  4. Witten, Edward. “Chern-Simons Gauge Theory As A String Theory” (영어). arXiv:hep-th/9207094. 
  5. Bershadsky, Michael; Cecotti, Sergio; Ooguri, Hirosi; Vafa, Cumrun (1994). “Kodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 165: 311-428. arXiv:hep-th/9309140. Bibcode:1994CMaPh.165..311B. doi:10.1007/BF02099774. MR 1301851. Zbl 0815.53082. 
  6. Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun. “On the Gauge Theory/Geometry Correspondence” (영어). arXiv:hep-th/9811131. 
  7. Okounkov, Andrei; Reshetikhin, Nikolai; Vafa, Cumrun. “Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals”. arXiv:hep-th/0309208. 
  8. Iqbal, Amer; Nekrasov, Nikita; Okounkov, Andrei; Vafa, Cumrun. “Quantum Foam and Topological Strings” (영어). arXiv:hep-th/0312022. 
  9. Pioline, Boris. “Lectures on black holes, topological strings and quantum attractors (2.0)” (영어). arXiv:hep-th/0607227. 
  10. Witten, Edward (1988). “Topological sigma models”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 118 (3): 411–449. doi:10.1007/BF01466725. MR 0958805. Zbl 0674.58047. 

외부 링크

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