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초켈러 다양체

정의편집

매끄러운 다양체  이 주어졌을 때, 접다발의 대수

 

를 생각하자. 실수체 위의 결합 대수의 준동형

 

이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수  ,  에 대하여  가 항상 복소구조라면,  초복소다양체(영어: hypercomplex manifold)라고 한다. 즉, 세 복소구조

 
 
 

가 주어졌을 때,

 
 
 
 

이 성립한다. 즉, 초복소다양체 위에는 복소구조모듈라이 공간  이 존재한다.

리만 다양체   위의 초복소구조   가운데, 만약  ,  ,  에 대하여  가 항상 켈러 구조라면,  초켈러 구조라고 하며, 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 초켈러 다양체라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 켈러 구조모듈라이 공간  이 존재한다. 즉, 지표로 쓰면, 리만 다양체   위의 초켈러 구조는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.[3]:§2.1

  • 세 개의 (1,1)차 텐서장   (   좌표)

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다.

  •   (사원수 대수 및 개복소구조)
  •   (에르미트성)
  •   (복소구조의 적분가능성)

이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조

 

를 정의할 수 있다.

성질편집

초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

위상수학적 성질편집

다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다.[4]

 차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수  오일러 지표  에 대하여, 다음이 성립한다.[5]

 
 
 
 

8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.[6]

호지 이론적 성질편집

 차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수  에 대하여, 다음이 성립한다.[5]

 
 

리만 기하학적 성질편집

 차원 초켈러 다양체의 홀로노미 의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가  의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가  인 경우다.  이다.)

복소기하학적 성질편집

초켈러 다양체  의 임의의 한 심플렉틱 형식  을 골라, 켈러 다양체로 여긴다고 하자. 그렇다면, 2차 복소수 미분 형식

 

정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체   위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 정칙 심플렉틱 형식(영어: holomorphic symplectic form)이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식

 
 

이 존재한다.

반대로, 칼라비-야우 정리(영어: Calabi–Yau theorem)에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)

응용편집

초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서  )를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다.[3][7] 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형  초등각 장론을 이룬다.

역사편집

에우제니오 칼라비가 1979년에 도입하였다.[8] 이 논문에서 칼라비는 다음과 같이 적었다.

우리는 홀로노미 군이 콤팩트 군   ( )인 켈러 계량을 발견한다. 이는 ‘사원수 접공간 구조’라고 불리는 구조의 최초의 알려진 예인 것으로 보인다. 그러나 우리는 ‘초켈러 구조’라는 용어를 선호한다.

nous allons trouver […] des métriques kàhlériennes […] dont le groupe d’holonomie est le groupe compact   ( ) […]; ce sont apparemment les premiers exemples connus de telles structures, qui ont été appelées « structures tangentielles quaternioniennes », mais pour lesquelles nous préférons l’appellation de « structures hyperkählériennes » […]

참고 문헌편집

  1. Hitchin, Nigel (1991년 11월). “Hyperkähler manifolds”. 《Séminaire N. Bourbaki》 (영어) 34 (748): 137–166. MR 1206066. Zbl 0979.53051. 
  2. Huybrechts, Daniel (1998). “Compact hyperkähler manifolds: basic results” (영어). arXiv:alg-geom/9705025. doi:10.1007/s002220050280. 
  3. Antoniadis, I.; B. Pioline (1997년 10월 30일). “Higgs Branch, Hyper-Kähler quotient and duality in SUSY N=2 Yang–Mills theories”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 12 (27): 4907–4931. arXiv:hep-th/9607058. Bibcode:1997IJMPA..12.4907A. doi:10.1142/S0217751X97002620. ISSN 0217-751X. 
  4. Verbitsky, Mikhail (1996년 7월). “Cohomology of compact hyperkähler manifolds and its applications”. 《Geometric and Functional Analysis》 (영어) 6 (4): 601–611. arXiv:alg-geom/9511009. doi:10.1007/BF02247112. ISSN 1016-443X. Zbl 0861.53069. 
  5. Kurnosov, Nikon (2014). “The second Betti number of hyperkähler manifolds” (영어). arXiv:1401.0510. 
  6. Guan, Daniel (2001). “On the Betti numbers of irreducible compact hyperkähler manifolds of complex dimension four” (PDF). 《Mathematical Research Letters》 (영어) 8: 663–669. 
  7. Hitchin, Nigel J.; A. Karlhede, U. Lindström, M. Roček (1987년 12월). “Hyperkähler metrics and supersymmetry”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 108 (4): 535–589. Bibcode:1987CMaPh.108..535H. doi:10.1007/BF01214418. ISSN 0010-3616. MR 0877637. Zbl 0612.53043. 
  8. Calabi, E. (1979). “Métriques kähleriennes et fibrés holomorphes”. 《Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure (quatrième série)》 (프랑스어) 12 (2): 269–294. ISSN 0012-9593. MR 543218. Zbl 0431.53056. 

외부 링크편집

같이 보기편집