6차원 초구

기하학에서, 6차원 초구(六次元超球, 영어: 6-sphere)는 7차원 유클리드 공간 속의, 원점에서 같은 거리에 있는 점으로 구성된 다양체이다. 6차원 초구는 동차 공간 G₂/SU(3)로 구성될 수 있으며, 이에 따라 개복소다양체를 이룬다.

정의편집

6차원 초구는 7차원 유클리드 공간 속의, 단위 노름의 벡터로 구성된 매끄러운 다양체이다. 이 위에는 표준적인 리만 계량이 존재한다.

6차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다.

 
 [1]:Theorem 1.9.2[2]

6차원 초구는 또한 순허수 팔원수 가운데 절댓값이 1인 것들의 공간으로 여길 수 있다.

 

성질편집

개복소구조편집

SU(3)의 작용으로 인하여, 6차원 초구는 표준적으로 개복소다양체를 이룬다.[3] 즉, 대칭 공간  에 의하여, 임의의 점  에서 포함 관계  가 존재하며, 이는 각 접공간 위에 복소수 내적 공간의 구조를 정의한다. 그러나 이 경우 네이엔하위스 텐서장이 0이 아니어서 이는 복소다양체가 아니다.

팔원수로서, 점  에서의 접다발은 순허수 팔원수 가운데  와 수직인 것의 공간이다. 이 경우 개복소구조 에 의한 곱셈에 해당한다.

6차원 초구가 복소다양체를 이룰 수 있는지 여부는 현재 (2019년) 유명한 미해결 난제이다.[4]

호모토피 군편집

6차원 초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군이 아닌 것은 다음과 같다.

 
 
 
 
 
 

여기서   순환군이다.

역사편집

1955년에 후카미 데쓰조(일본어: 深見 哲造 (ふかみ てつぞ))와 이시하라 시게루(일본어: 石原 繁 (いしはら しげる))가 6차원 초구가 G₂/SU(3)이며, 개복소다양체를 이룬다는 것을 증명하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Yokota, Ichiro (2009년 2월). “Exceptional Lie groups” (영어). arXiv:0902.0431. Bibcode:2009arXiv0902.0431Y. 
  2. Fukami, Tetsuzo; Ishihara, Shigeru (1955). “Almost Hermitian structure on S6”. 《Tohoku Mathematical Journal》 (영어) 7 (3): 151–156. doi:10.2748/tmj/1178245052. MR 77988. Zbl 0068.36001. 
  3. Agricola, Ilka; Borówka, Aleksandra; Friedrich, Thomas (2018년 4월). “S6 and the geometry of nearly Kähler 6-manifolds”. 《Differential Geometry and its Applications》 (영어) 57: 75–86. arXiv:1707.08591. doi:10.1016/j.difgeo.2017.10.007. 
  4. Bryant, Robert L. (2014). “S.-S. Chern’s study of almost-complex structures on the six-sphere” (영어). arXiv:1405.3405. Bibcode:2014arXiv1405.3405B. 

외부 링크편집