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리만 기하학리 군론에서, 대칭 공간(對稱空間, 영어: symmetric space)은 일반점의 안정자군이 어떤 대합에 의하여 정의되는 동차 공간이다.

목차

정의편집

대칭 공간  는 다음 조건을 만족시키는 동차 공간이다.

 는 어떤 대합  에 대하여,  열린집합이다.

여기서

 

 에 의한 고정점들의 부분 공간이다.

대칭 공간의 계수(階數, 영어: rank)는 접공간의 부분 벡터 공간 가운데, 곡률이 0인 것의 최대 차원이다. 대칭 공간 가운데 에르미트 다양체인 것들은 항상 자동적으로 켈러 다양체를 이루며, 이를 에르미트 대칭 공간(Hermite對稱空間, 영어: Hermitian symmetric space)이라고 한다.

 의 리 대수가  라고 하자. 대합

 

 이므로 고윳값  을 갖는다. 이에 따라,  는 두 부분 공간의 직합으로 나타내어지며, 고윳값이  인 부분 대수는  의 리 대수  와 같다. 고윳값이  인 부분 대수는  이라고 적자.

 
 
 
 

성질편집

함의 관계편집

리 군  의 닫힌 부분군  가 주어졌으며, 이들에 대응하는 리 대수가 각각  라고 하자. 또한, 항상

 

이 되는 실수 벡터 공간  를 찾을 수 있다. 이제,  이 가질 수 있는 다음과 같은 일련의 조건들을 정의할 수 있으며, 이 조건들은 다음과 같은 동차 공간들을 정의한다.

공간 조건
동차 공간 (없음)
가약 동차 공간  
대칭 공간  ,  
리만 대칭 공간 대칭 공간이며,   위에  -불변 내적이 존재

여기서,  인 조건은

 

을 함의한다. (만약  의 중심이 자명하다면 이는 리 대수 조건과 동치이다.)

리만 대칭 공간의 경우,   의 접공간과 동형이므로,   위의 내적은   위의 리만 계량을 정의한다.

분류편집

콤팩트 대칭 공간은 엘리 카르탕에 의하여 모두 분류되었다.[1][2]

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다. 아래 목록에서, 켈러 다양체가 되는 것은 특별히 표시하였다.

이름 G H 차원 계수 켈러 다양체
AI        
AII        
AIII         켈러 다양체
BDI          인 경우는 켈러 다양체
DIII         켈러 다양체
CI         켈러 다양체
CII        
EI     42 6
EII     40 4
EIII     32 2 켈러 다양체
EIV     26 2
EV     70 7
EVI     64 4
EVII     54 3 켈러 다양체
EVIII     128 8
EIX     112 4
FI     28 4
FII     16 1
G     8 2

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모든 콤팩트 반단순 리 군은 (킬링 형식에 비례하는 리만 계량을 부여하면) 자명하게 대칭 공간이다. 비콤팩트 반단순 리 군의 경우, 마찬가지로 준리만 다양체로 간주할 경우 대칭 공간을 이룬다.

초구유클리드 공간쌍곡 공간은 모두 대칭 공간이다. 초구의 경우, 이는

 

이며, 이는 BDI의 특별한 경우이다. 유클리드 공간은

 

의 꼴로 얻어지며, 쌍곡 공간

 

의 꼴로 얻어진다.

더 시터르 공간반 더 시터르 공간은 준리만 대칭 공간이다.

참고 문헌편집

  1. Cartan, Élie (1926). “Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 54: 214–216. ISSN 0037-9484. JFM 52.0425.01. 
  2. Cartan, Élie (1927). “Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann II”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 55: 114–134. ISSN 0037-9484. JFM 53.0390.01. 

외부 링크편집