CAT(κ) 공간
기하학에서 CAT(κ) 공간(-空間, 영어: CAT(κ) space)은 단면 곡률이 어디서나 이하인 거리 공간이다.
정의 편집
임의의 실수 에 대하여, 가 단면 곡률이 인 2차원 연결 단일 연결 공간 형식이라고 하자. 즉, 일 경우 이는 구, 일 경우는 유클리드 평면, 일 경우는 쌍곡 평면이다. 이 공간 형식의 지름은 다음과 같다.
측지선 거리 공간(영어: geodesic metric space) 은 다음 조건을 만족시키는 길이 거리 공간이다.
- 임의의 두 점 에 대하여, 두 점을 잇는 측지선 가 존재한다.
두 점 를 잇는 측지선을 로 표기하자.
측지선 거리 공간 속의 세 점 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가 존재한다면, 삼각형 가 부등식을 만족시킨다고 한다.
- , ,
- 위의 두 점 사이의 거리는 위의 대응하는 하는 두 점 사이의 거리보다 같거나 짧다. 즉, 다음이 성립한다.
- 임의의 에 대하여,
- 임의의 에 대하여,
- 임의의 에 대하여,
측지선 거리 공간 속의 임의의 세 점 에 대하여 부등식이 성립한다면, 를 공간이라고 한다.
성질 편집
임의의 공간은 공간이다 ( ). 만약 거리 공간 가 모든 에 대하여 공간이라면, 는 공간이다.
예 편집
모든 (완비일 필요가 없는) 내적 공간은 공간이다. 임의의 노름 공간 가 어떤 실수 에 대하여 공간이라면, 는 내적 공간이다.
차원 쌍곡 공간은 공간이다.
역사 편집
CAT(κ) 공간의 개념은 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프가 도입하였다. 알렉산드로프는 이를 원래 " 영역"으로 명명하였다. 이후 미하일 그로모프가 1987년의 유명한 논문에서 "CAT(κ) 공간"이라는 용어를 도입하였다. 이름에서 "CAT"는 앙리 카르탕(Cartan) · 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프(Александров) · 빅토르 안드레예비치 토포고노프(Топоногов)의 머릿글자를 딴 것이다.
참고 문헌 편집
- Ballmann, Werner (1995). 《Lectures on spaces of nonpositive curvature》. Oberwolfach Seminars (영어) 25. Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9240-7. ISBN 978-3-7643-5242-4. ISSN 1661-237X. MR 1377265.
- Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). 《Metric spaces of non-positive curvature》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 319. Springer. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 978-3-540-64324-1. MR 1744486.
외부 링크 편집
- Calegari, Danny (2012년 10월 17일). “Upper curvature bounds and CAT(K)”. 《Geometry and the Imagination》 (영어).