h-보충 경계

위상수학에서 h-보충 경계(h-補充境界, 영어: h-cobordism 에이치 코보디즘^[*])는 양끝과 호모토피 동치 관계에 있는 보충 경계이다. 5차원 이상의 다양체를 분류하는 도구로 쓰인다.

정의

${\mathcal {C}}$가 (위상) 다양체 · 조각적 선형 다양체 · 매끄러운 다양체의 범주 가운데 하나라고 하자. 그리고 두 $n$차원 ${\mathcal {C}}$-다양체 $M$, $N$ 사이의 보충 경계 $(W,\iota _{M},\iota _{N})$이 주어졌다고 하자. (그러므로 $W$는 $(n+1)$차원 ${\mathcal {C}}$-다양체가 된다.)

$\iota _{M}\colon M\hookrightarrow W$

$\iota _{N}\colon N\hookrightarrow W$

만약 $\iota _{M}$과 $\iota _{N}$ 각각이 모두 호모토피 동치일 경우, $(W,\iota _{M},\iota _{N})$을 h-보충 경계라고 한다.

h-보충 경계 정리

h-보충 경계는 다음과 같은 h-보충 경계 정리(h-補充境界定理, 영어: h-cobordism theorem)가 성립하기 때문에 중요한 의미를 가진다.

h-보충 경계 정리

$n\geq 5$ 차원의 두 단일 연결 ${\mathcal {C}}$-다양체 $M$과 $N$ 사이의 h-보충 경계 $(W,\iota _{M},\iota _{N})$이 존재한다고 하자.

이 때, $(M\times [0,1],M\times \{0\},N\times \{1\})\mapsto (W,\iota _{M}(M),\iota _{N}(N))$으로 각각 보내는 ${\mathcal {C}}$-동형이 존재한다.

특히, $M$과 $N$이 서로 ${\mathcal {C}}$-동형이다.

즉, 5차원 이상 단일 연결 다양체의 경우, (주어진 범주에서의) h-보충 경계의 존재는 (주어진 범주에서의) 동형과 같다.

증명의 골자

주어진 $(n+1)$차원 보충 경계 $W$에 모스 함수 $f$를 줄 수 있다. 그 임계점의 순서를 잘 바꿔서 모스 지표가 오름차순이 되도록 함수 $f'$를 만들 수 있다.

$\forall i,j:x_{i}<x_{j}\implies \operatorname {ind} _{f'}(x_{i})<\operatorname {ind} _{f'}(x_{j})$

다시 말해 $M$에 차원의 오름차순대로 여러 개의 손잡이를 붙여 $N$을 만들 수 있다는 것이다.

한편, $M$이 $W$의 변형 수축이라는 것을 이용해서 대수위상적인 조작을 가하면, 한 손잡이가 다른 손잡이의 경계가 되도록 모든 손잡이들끼리 짝지을 수 있다. ($\partial {h_{i}^{k+1}}=h_{j}^{k}$)

$\partial {h_{i}^{k+1}}=h_{j}^{k}$인 손잡이 $h_{i}^{k+1}$와 $h_{j}^{k}$는 휘트니 매장을 이용해서 기하학적인 입사점(incidence point)이 정확히 한 개가 되도록 변형시킬 수 있다.

$\partial {h_{i}^{k+1}}=h_{j}^{k}$이며 서로의 입사점이 정확히 하나인 $h_{i}^{k+1}$와 $h_{j}^{k}$에 다음과 같은 작업을 가한다.

• $2\leq k\leq n-2$일 경우, 서로를 매끄럽게 상쇄시킨다.
• $k=0,n$일 경우, 양 쪽을 한 번에 매끄럽게 소멸시킨다.
• $k=1$일 경우, $W$가 단일 연결이라는 사실과 휘트니 매장을 사용해 1-손잡이를 3-손잡이로 바꿀 수 있다. 그렇게 하면 2-손잡이와 3-손잡이의 짝이 되므로, 위에서 한 것처럼 상쇄시킨다.

이렇게 하면 $W$에 있었던 모든 손잡이가 사라지므로 $M\times [0,1]$과 동형이 된다.

저차원 다양체

4차원 이하의 다양체에서는 휘트니 매장을 사용할 수 없다. 다시 말해, 4차원 이하의 다양체 안에 매장된 임의의 $S^{1}$를 경계로 하며 자기 자신과 교차하지 않는 매장 $D^{2}\hookrightarrow W$가 존재하리라는 보장이 없다.

4차원 h-보충 경계 정리의 경우 캐슨 손잡이를 써서 위상적인 h-보충 경계 정리를 증명할 수 있지만, 이는 매끄러운 구조를 보존하지 못한다. 매끄러운 4차원 다양체의 경우 아크불루트의 병마개와 같은 반례가 존재한다.

저차원의 다양체의 h-보충 경계 정리에 대해서는 다음이 알려져 있다.

• 4차원 h-보충 경계 정리: 위상 다양체의 경우 성립하지만, 조각적 선형 또는 매끄러운 다양체의 경우 성립하지 않는다. 한편 3차원 이하에서는 위상 · 조각적 선형 · 매끄러운 다양체 범주 각각이 서로 동치이므로 이런 구분이 필요하지 않는다.
• 3차원 h-보충 경계 정리: 4차원 초구가 비표준 매끄러운 구조를 갖는지 여부와 동치이며, 이는 일반화된 푸앵카레 추측으로 유명한 난제이다.
• 2차원 h-보충 경계 정리: $M$과 $N$이 모두 구면($S^{2}$)인 경우만 보이면 충분하다. 그리고리 페렐만이 증명한 3차원 푸앵카레 추측에 따라 참이다.
• 1차원 h-보충 경계 정리: 1차원 단일 연결 다양체는 항상 축약 가능하므로 참이다.
• 0차원 h-보충 경계 정리: h-보충 경계는 닫힌 선분이 유일하므로 자명하게 참이다.

성질

푸앵카레 추측과의 관계

$n-1$차원 ${\mathcal {C}}$ 다양체에 대해 h-보충 경계 정리가 성립할 경우, $n$차원 ${\mathcal {C}}$ 다양체에 대한 일반화된 푸앵카레 추측을 유도할 수 있다.

$M^{n}$이 구 $S^{n}$과 호모토피 동형이라면, 서로 ${\mathcal {C}}$-동형이다.

스티븐 스메일은 5차원 이상의 h-보충 경계 정리를 이용해 6차원 조각적 선형 다양체에 대한 푸앵카레 추측을 증명하였고, 약간의 보조정리를 추가해서 5차원 조각적 선형 다양체에 대한 푸앵카레 추측도 증명하였다.

s-보충 경계 정리

단일 연결이 아닌 경우, 다음과 같은 s-보충 경계 정리(s-補充境界定理, 영어: s-cobordism theorem)가 성립한다. $n\geq 5$차원의 ${\mathcal {C}}$-다양체 $M$, $N$ 사이의 h-보충 경계 $(W,\iota _{M},\iota _{N})$가 주어졌다고 하자. s-보충 경계 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\iota _{M}$이 단순 호모토피 동치이다. 다시 말해, 그 화이트헤드 꼬임이 0이다.
• $W$는 $M\times [0,1]$과 ${\mathcal {C}}$-동치이다.

역사

스티븐 스메일

역사적으로 1차원과 2차원 다양체의 분류는 간단했지만, 3차원과 4차원 다양체의 분류는 매우 어렵다는 것이 밝혀졌다. 이후 수학자들은 5차원 이상의 다양체는 이보다 더 복잡할 것으로 생각하고, 3·4차원의 분류에 주력하였다.

1960년대 초에 스티븐 스메일은 h-보충 경계의 개념 및 h-보충 경계 정리를 발표하였고, 이를 사용하여 5차원 조각적 선형 다양체에 대한 일반화된 푸앵카레 추측을 증명하였다. 이로서 5차원 이상의 다양체는 수술 이론으로 비교적 간단하게 다룰 수 있다는 것이 밝혀졌고, 다양체 이론에서는 ‘중간 차원’인 3·4차원이 가장 어렵다는 사실이 알려졌다. 이 공로로 스메일은 1966년 필즈상을 수상하였다. ‘h-보충 경계’라는 이름에서 ‘h’는 호모토피(영어: homotopy)의 영명의 머릿글자이다.

1982년 마이클 프리드먼이 캐슨 손잡이를 이용해 4차원 h-보충 경계 정리를 증명했다. 한편 사이먼 도널드슨은 h-보충 경계 정리가 4차원 매끄러운 다양체 사이에서는 실패한다는 것을 밝혔다.

s-보충 경계 정리는 배리 메이저 · 존 로버트 스톨링스 2세 · 데니스 바든이 독자적으로 증명하였다. ‘s-보충 경계 정리’라는 이름에서 ‘s’는 단순 호모토피 동치(영어: simple homotopy equivalence)의 영명의 머릿글자이다.

외부 링크

• “H-cobordism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “h-cobordism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “h-cobordism theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.