근방 필터

일반위상수학에서, 근방 필터(近傍filter, 영어: neighbo(u)rhood filter)는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴(영어: converge)하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다.

정의편집

위상 공간  부분 집합  근방들의 집합

 

멱집합   속의 필터를 이루며, 이를  근방 필터 또는 근방계(近傍系, 영어: neighbo(u)rhood system)  라고 한다.  의 점  근방 필터한원소 집합  의 근방 필터를 뜻하며,  로 표기한다.

근방 필터  공시작 집합 (즉,  이 되는 부분 집합  )을  국소 기저(局所基底, 영어: local base)라고 한다.

필터의 수렴편집

위상 공간   위의 필터   및 점  가 주어졌다고 하자. 만약  라면,   수렴한다(영어: converge)고 하고,

 

로 표기한다. 이 경우, 이 경우,   극한(영어: limit)이라고 한다.

보다 일반적으로,   위의 필터 기저   및 점  에 대하여, 만약   의 어떤 국소 기저를 포함한다면   수렴한다고 한다.

성질편집

위상 공간   위의 자명한 필터  는 모든 점에 수렴한다.

위상 공간  의 모든 점  가산 집합인 국소 기저를 갖는다면,  제1 가산 공간이라고 한다.

분리 공리편집

위상 공간  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •   전체가 아닌,   위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
  • 임의의 두 점  에 대하여,  라면,  이자  이다.
  • 임의의 두 점  에 대하여,  이자  이며  열린집합  가 존재한다.
  • 하우스도르프 공간이다.

그물과의 관계편집

임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.

편집

이산 공간  의 점  의 근방 필터는 주 필터  이다. 비이산 공간  의 점  의 근방 필터는  이다.

거리 공간  에서, 다음과 같은 집합은 점  의 국소 기저를 이룬다.

 

참고 문헌편집

외부 링크편집