극성화와 반환

가환대수학에서 극성화(極性化, 영어: polarization)는 동차 다항식에 변수를 추가하여 다중 선형 다항식으로 변환시키는 연산이다. 반환(返還, 영어: restitution)은 극성화의 반대 연산이며, 다중 선형 다항식을 동차 다항식으로 변환시킨다.

정의

$p$가 $n$개의 변수에 대한 $d$차 동차 다항식이고, $R$는 계승 $n!$이 가역원인 가환환이라고 하자. 그렇다면 $p$를 $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$의 원소로 여길 수 있다. $p$의 극성화

${\mathcal {P}}p\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots ,x_{i,j},x_{i,j+1},\dots ,x_{n,d}]$

는 다음과 같다.

${\mathcal {P}}p(\dots ,x_{i,j},\dots )={\frac {1}{d!}}{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial t_{d}}}f\left(\dots ,\sum _{j=1}^{d}t_{j}x_{i,j},\dots \right)$

극성화의 반대 연산은 반환이다. $nd$개의 변수를 갖는 다항식

$P\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots ,x_{i,j},\dots ,x_{n,d}$

의 반환 ${\mathcal {R}}P$는 다음과 같다.

${\mathcal {R}}P\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]$

${\mathcal {R}}P(x_{1},\dots ,x_{n})=P(\overbrace {x_{1},\dots ,x_{1}} ^{d},\cdots ,\overbrace {x_{i},\dots ,x_{i}} ^{d},\cdots ,\overbrace {x_{n},\dots ,x_{n}} ^{d})$

성질

$(x_{1,j},\dots ,x_{n,j})=\mathbf {x} _{j}$라고 쓰자. 그렇다면, 각 $j$에 대하여 ${\mathcal {P}}p$는 $\mathbf {x} _{j}$에 대한 선형 함수이다. 또한, ${\mathcal {P}}p$는 대칭군 $\operatorname {Sym} (d)$의 작용 ($\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{d}$의 순열)에 대하여 불변이다.

$K$가 표수가 0인 체라고 하고, $V$가 $n$차원 $K$-벡터 공간이라고 하자. 그렇다면 다항식환 $K[V]$은 차수에 따라 등급환이 된다.

$K[V]=\bigoplus _{i=0}^{\infty }K[V]_{i}$

이 경우, 극성화는 표준적 동형사상

${\mathcal {P}}\colon K[V]_{i}\to \operatorname {Sym} ^{n}(V^{*})$

을 정의한다. 또한, 극성화는 $R[V]$의 $K$-대수 구조와 호환되므로, $K$-등급대수로서 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

${\mathcal {P}}\colon K[V]\to \operatorname {Sym} (V^{*})$

예

1변수 단항식 $ax^{d}$에 대하여, 극성화는 항등 함수이다. 마찬가지로, 선형 함수 ($d=1$)에 대하여, 극성화는 항등 함수이다.

2변수 이차 형식

$p(x,y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$

의 극성화는 다음과 같다.

${\mathcal {P}}p(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=ax_{1}x_{2}+b(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})+cy_{1}y_{2}$

2변수 3차 동차 다항식

$p(x,y)=ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}$

의 극성화는 다음과 같다.

${\mathcal {P}}p(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})=ax_{1}x_{2}x_{3}+b(y_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}y_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}y_{3})+c(x_{1}y_{2}y_{3}+y_{1}x_{2}y_{3}+y_{1}y_{2}x_{3})+dy_{1}y_{2}y_{3}$

응용

극성화와 반환은 대수기하학, 특히 불변량 이론에서 쓰인다.

참고 문헌

• Dolgachev, Igor V. (2003). 《Lectures on invariant theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 296. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511615436. ISBN 978-052152548-0. Zbl 1023.13006.