기둥형 고른 다면체

기하학에서 기둥형 고른 다면체이면체 대칭을 가지는 고른 다면체이다. 두 종류의 무한한 족이 존재한다: 고른 각기둥과 고른 엇각기둥이다. 모든 꼭짓점은 평행한 면에 있기 때문에 기둥형 다면체이다.

별 엇오각기둥은 두 오각성정삼각형 10개로 만들어졌다.

꼭짓점 배치와 대칭군

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이것들은 점추이이기 때문에 꼭짓점 배열은 유일하게 대칭군에 대응된다.

각기둥과 엇각기둥 대칭군 간의 차이는 Dph는 꼭짓점이 두 평면에 정렬되어 있고, 그 평면은 (다각형 {p/q}에 평행한) p-접힌 축에 수직인 반사면을 만든다; 반면에 Dpd는 꼭짓점이 다른 평면에 대하여 상대적으로 꼬여있고, 회전 반사를 갖게 된다. 각각은 p-접힌 축을 포함하는 p 반사면을 가진다.

Dph 대칭군은 p가 짝수일 때만 점대칭을 가지고, Dpdp가 홀수일 때만 점대칭을 가진다.

열거

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다음과 같은 종류가 있다:

  • 각기둥, 모든 유리수 p/q > 2에 대해서, 대칭군 Dph을 가진다;
  • 엇각기둥, 모든 유리수 p/q > 3/2에 대해서, q가 홀수 일 때는 대칭군 Dpd을 가지고, q가 짝수일 때는 대칭군 Dph을 가진다.

p/q가 정수일 때, 즉 q = 1일 때, 각기둥 또는 엇각기둥은 볼록이다. (분수는 항상 가장 간단한 형태로 나타냈다고 가정한다.)

p/q < 2인 엇각기둥은 교차되거나 역행한다; 그 꼭짓점 도형은 나비 넥타이를 닮았다. 만약 p/q ≤ 3/2인 고르지 않은 엇각기둥이 존재할 수 있다면, 그 꼭짓점 도형은 삼각 부등식을 만족하지 않는다.

그림

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주석: 정사면체, 정육면체, 그리고 정팔면체는 여기에 이면체 대칭으로 기술되었다(각각 엇이각기둥, 사각기둥 그리고 엇삼각기둥으로 나타내었다), 비록 균일하게 색칠되었을지라도, 정사면체는 정사면체 대칭을 가지고, 정육면체와 정팔면체는 정팔면체 대칭을 가진다.

대칭군 볼록 별모양
d2d
[2+,2]
(2*2)
 
3.3.3
d3h
[2,3]
(*223)
 
3.4.4
d3d
[2+,3]
(2*3)
 
3.3.3.3
d4h
[2,4]
(*224)
 
4.4.4
d4d
[2+,4]
(2*4)
 
3.3.3.4
d5h
[2,5]
(*225)
 
4.4.5
 
4.4.5/2
 
3.3.3.5/2
d5d
[2+,5]
(2*5)
 
3.3.3.5
 
3.3.3.5/3
d6h
[2,6]
(*226)
 
4.4.6
d6d
[2+,6]
(2*6)
 
3.3.3.6
d7h
[2,7]
(*227)
 
4.4.7
 
4.4.7/2
 
4.4.7/3
 
3.3.3.7/2
 
3.3.3.7/4
d7d
[2+,7]
(2*7)
 
3.3.3.7
 
3.3.3.7/3
d8h
[2,8]
(*228)
 
4.4.8
 
4.4.8/3
d8d
[2+,8]
(2*8)
 
3.3.3.8
 
3.3.3.8/3
 
3.3.3.8/5
d9h
[2,9]
(*229)
 
4.4.9
 
4.4.9/2
 
4.4.9/4
 
3.3.3.9/2
 
3.3.3.9/4
d9d
[2+,9]
(2*9)
 
3.3.3.9
 
3.3.3.9/5
d10h
[2,10]
(*2.2.10)
 
4.4.10
 
4.4.10/3
d10d
[2+,10]
(2*10)
 
3.3.3.10
 
3.3.3.10/3
d11h
[2,11]
(*2.2.11)
 
4.4.11
 
4.4.11/2
 
4.4.11/3
 
4.4.11/4
 
4.4.11/5
 
3.3.3.11/2
 
3.3.3.11/4
 
3.3.3.11/6
d11d
[2+,11]
(2*11)
 
3.3.3.11
 
3.3.3.11/3
 
3.3.3.11/5
 
3.3.3.11/7
d12h
[2,12]
(*2.2.12)
 
4.4.12
 
4.4.12/5
d12d
[2+,12]
(2*12)
 
3.3.3.12
 
3.3.3.12/5
 
3.3.3.12/7
...

같이 보기

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참조

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  • Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). “Uniform polyhedra”. 《Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences》 (The Royal Society) 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. 
  • Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5. p.175
  • Skilling, John (1976), “Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 79 (3): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554 .

외부 링크

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