꼭짓점 도형

기하학에서 꼭짓점 도형은 다면체나 다포체의 귀퉁이를 잘라냈을 때 나타나는 도형이다. 이는 꼭짓점 배치에서 각 꼭짓점에 모인 면의 수를 다각형으로 환산하면 알 수 있다. 꼭짓점 배치란 각 꼭짓점에 모인 정다각형 면들을 차례대로 나타낸 것이기 때문이다. 따라서 그의 쌍대는 정다면체가 아닌 경우 면이 꼭짓점 배치에 있는 면의 수만큼인 것 중에서도 비(非) 정다각형이고, 준정다면체일 경우에는 해당 다면체의 쌍대는 면이 등변다각형이다. 그 이유는 준정다면체의 꼭짓점이 직사각형이기 때문에 준정다면체의 쌍대는 면이 마름모이가 때문이다. 따라서 (준)정다면체를 깎으면 깎인 단면은 한 꼭짓점에 모인 면의 수만큼의 변과 각을 가진 정다각형이 나오고, 다른 면들을 자신의 변과 꼭짓점의 두 배인 정다각형이 각 꼭짓점에 2개씩 나온다.

삼각기둥의 꼭짓점 도형은 이등변삼각형이다. 정삼각형 면은 짧은 변을 만들고 두 정사각형 면은 긴 변을 만든다. 이 꼭짓점 도형의 간단한 표기는 3.4.4이다

큰 이십면체의 꼭짓점 도형은 정오각성 또는 별 다각형 ⅖이다.

정의 – 주제와 변형

다면체의 한 꼭짓점을 보라. 그 점에서 모서리로 연결된 점들을 표시하라. 연결된 면을 통해서 인접한 점을 연결하는 선을 그려라. 이제, 이 선들은 완전한 회로를 이룬다, 다시말해, 꼭짓점 주변에서 다각형을 이룬다. 이 다각형이 꼭짓점 도형이다.

더 정확한 수식적 정의는 상황에 따라서 꽤 넓게 바꿀 수 있다. 예를 들어 콕서터(e.g. 1948, 1954)는 정의를 논의의 현재 영역에 정의했다. 다음 대부분의 꼭짓점 도형의 정의는 무한 타일링, 또는 다포체 면의 공간 테셀레이션에도 동등하게 정의 될 수 있다.

평평한 단면

다면체의 귀퉁이를 모든 연결된 점을 통과하도록 자르면 그 단면이 꼭짓점 도형이다. 다른 사람은 다른 지점에서 자른다. 웨닝거(2003)는 콕서터(1948)가 한 것처럼 꼭짓점에서 단위 길이만큼 떨어진 지점에서 잘랐다. 고른 다면체의 경우, 도르만 루크 구성은 각 연결된 모서리의 중점에서 자른다. 다른 사람은 모서리의 반대쪽 끝에 있는 꼭짓점에서 잘랐다.

균일하지 않은 다면체일 경우, 이 접근은 꼭짓점 도형이 한 평면에 있지 않을 수 있다. 임의의 볼록 다면체에서 유효한 더 일반적인 접근은 주어진 꼭짓점을 다른 꼭짓점과 구분하는 면으로 자르는 것이나, 이 방법은 임의적이다. 이 방법은 연결된 꼭짓점의 집합(아래 참조)과 유사하지만 정확한 기하는 아닌 꼭짓점 도형의 조합적 구조를 결정한다. 이것은 모든 차원의 볼록 다포체로 일반화 될 수 있다.

구면 다각형

크롬웰(1999)은 꼭짓점을 중심으로 구면으로 절단한다. 따라서 잘린 평면 또는 꼭짓점 도형은 이 구에 표시된 구면다각형이 된다.

연결된 꼭짓점의 집합

많은 조합적이고 계산적인 접근(e.g. Skilling, 1975)은 꼭짓점 도형을 순서가 있는(또는 부분적으로 순서가 있는) 주어진 점에 (모서리를 따라 연결되어서) 이웃한 점들의 집합으로 다룬다.

추상 정의

추상다포체 이론에서, 주어진 점V에서의 꼭짓점 도형은 그 꼭짓점과 관련된 원소로 구성된다; 모서리, 면, 등.더 공식적으로는 (n−1)-구역의 F_n/V이고, 이 때 F_n 은 가장 큰 면이다.

이 집합의 원소는 다르게는 꼭짓점 별로 알려져 있다.

일반적인 속성

n-다포체의 꼭짓점 도형은 (n−1)-다포체이다. 예를 들어, 다면체의 꼭짓점은 다각형이고, 4차원 다포체의 꼭짓점 도형은 다면체이다.

이 이웃하는 꼭짓점들의 연결성으로 고려하면, 꼭짓점 도형인 (n−1)-다포체는 다포체의 각 꼭짓점을 위해 만들어질 수 있다:

• 꼭짓점 도형의 각 꼭짓점은 원래의 다포체의 꼭짓점과 일치한다.
• 꼭짓점 도형의 각 모서리는 원래의 다포체의 면에 또는 내부에 원래 면의 두 꼭짓점을 연결하면서 존재한다.
• 꼭짓점 도형의 각 면은 원래의 (n > 3일 때) n-다포체의 입체에 또는 안에 존재한다.
• ... 그리고 고차원 다포체의 고차원 원소에 대해서도 마찬가지이다.

꼭짓점 도형은 한 꼭짓점 도형으로 전체 다포체를 해석 할 수 있기 때문에 고른 다포체에서 가장 유용하다.

다면체에서, 꼭짓점 도형은 꼭짓점 주변의 면을 수열로 나열하는 꼭짓점 배치 표기로 표현할 수 있다. 예를 들어 3.4.4.4는 삼각형 하나와 사각형 세 개가 있는 꼭짓점이고 이것은 마름모육팔면체를 나타낸다.

다포체가 점추이일 경우는 꼭짓점 도형은 n차원의 초평면에 존재한다. 일반적으로 꼭짓점 도형은 평면형일 필요는 없다.

볼록하지 않은 다면체에서, 꼭짓점 도형 역시 볼록하지 않을 수 있다. 예를 들어, 고른 다포체는 면이나 꼭짓점 도형으로 별 다각형을 가질 수 있다.

도르만 루크 구성

고른 다면체에서, 쌍대다면체의 면은 "도르만 루크"구성을 사용해서 원래의 다면체의 꼭짓점 도형으로 찾을 수 있다.

정다포체

다포체가 정다포체라면, 슐레플리 기호로 나타낼 수 있고, 면과 꼭짓점 도형은 이 표기에서 추출할 수 있다. 또한 이는 정다포체 뿐만이 아니라, (n-1)-유클리디안 정규 허니콤 n-무한다포체나 n-하이퍼볼릭 허니콤에 대해서도 마찬가지로 적용이 된다. 참고로, (n-1)차원에서의 유클리디안 정규 허니콤은 n차원에서의 무한다포체라고 생각할 수 있으며, 하이퍼볼릭은 유클리드 기하학에서 정상적으로 만들 수 없는 도형으로, 한 모서리에서 만나는 이포각의 총합이 360°를 초과하며, n-1차원 면이나 꼭짓점 도형의 종류에 따라 콤팩트 하이퍼볼릭 허니콤, 파라콤팩트 허니콤, 논콤팩트 허니콤 이렇게 세 가지로 나눌 수 있다. 이들에 대해서 자세한 내용은 벌집 (기하학) 문서로 가면 볼 수 있다.

일반적으로 슐레플리 기호 {a,b,c,...,y,z}인 정다포체는 {a,b,c,...,y}를 면으로 가지고, 꼭짓점 도형으로 {b,c,...,y,z}를 가진다.

1. 정다면체, 정규 타일링, 하이퍼볼릭 타일링 {p,q}에 대해서, 꼭짓점 도형은 {q}로 q각형이다.
   • 예) 정육면체 {4,3}의 꼭짓점 도형은 삼각형 {3}이다.
2. 4차원 정다포체, 3차원 정규 입체 테셀레이션, 3차원 하이퍼볼릭 벌집 {p,q,r}에 대해서, 꼭짓점 도형은 {q,r}이다.
   • 예) 초입방체 {4,3,3}의 꼭짓점 도형은 정사면체 {3,3}이다.
   • 또한 정육면체 벌집 {4,3,4}의 꼭짓점 도형은 정팔면체 {3,4}이다.

정다포체의 쌍대는 여전히 정다포체이고 슐레플리 기호는 반대로 나타나기 때문에 꼭짓점 도형의 쌍대가 쌍대 다포체의 면이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 정다면체에서 이것은 도르만 루크 구성의 특별한 경우이다.

벌집의 꼭짓점 도형의 예

깎은 정육면체 벌집(부분).

깎은 정육면체 벌집의 꼭짓점 도형은 고르지 않은 사각뿔이다. 입체 테셀레이션의 각 꼭짓점 마다 하나의 정팔면체와 네 깎은 정육면체가 만난다.

꼭짓점 도형: 고르지 않은 사각뿔	슈미겔 다이어그램	원근 투영
정팔면체에서 만든 정사각형이다	(3.3.3.3)
깎은 정육면체에서의 네 이등변삼각형이다	(3.8.8)

모서리 도형

깎은 정육면체 벌집은 두 종류의 모서리를 가지고 있다; 깎은 정육면체가 네 개 있는 것과, 정팔면체 하나와 깎은 정육면체 두 개가 있는 것이다. 이것들은 두 종류의 모서리 도형으로 볼 수 있다. 이것들은 꼭짓점 도형의 꼭짓점으로 볼 수 있다.

꼭짓점 도형과 관련된 모서리 도형은 꼭짓점 도형의 꼭짓점 도형이다. 모서리 도형은 정다포체와 고른 다포체 안의 원소 사이의 관계를 나타낼 때 유용하다.

모서리 도형은 주어진 모서리 주변의 면의 배열을 나타내는 (n−2)-다포체이다. 단일고리의 콕서터 다이어그램을 가지는 고른 정다포체는 한 가지의 모서리 종류를 가진다. 일반적으로 고른 다포체는 각 활성된 거울이 기본 영역에서 한 모서리를 만들기 때문에, 생성할 때에 활성된 거울의 수만큼 모서리의 종류가 나올 수 있다.

n-정다포체와 n-정규 허니콤, n-하이퍼볼릭 허니콤은 여전히 다포체인 하나의 모서리 도형을 가진다. 정다포체 {p,q,r,s,...,z}에서, 모서리 도형은 {r,s,...,z}이다.

4차원에서 4차원 다포체나 삼차원 벌집의 모서리 도형은 모서리 주변의 면들의 배열을 나타내는 다각형이다.F 예를 들어, 정육면체 벌집 {4,3,4}의 모서리 도형은 정사각형이고, 4차원 정다포체 및 3차원 하이퍼볼릭 허니콤 {p,q,r}에 대해서는 다각형 {r}이다.

깎은 정육면체 벌집 t_0,1{4,3,4}은 꼭짓점 도형으로 깎은 정육면체와 정팔면체를 면으로 하는 사각뿔을 가진다. 이 때, 두 종류의 모서리 도형이 있다. 하나는 정사각형 모서리 도형이 사각뿔의 꼭대기에 있다. T이것은 모서리 주변에 깎은 정육면체 네 개가 있음을 나타낸다. 다른 네 모서리도형은 사각뿔 밑면의 꼭짓점에 있는  이등변삼각형이다. 이것들은 두 깎은 정육면체와 정팔면체 하나가 모서리 주변에 있다는 것을 나타낸다.

같이 보기

• 꼭짓점 배치
• 정다포체의 목록

참조 목록

참고서적

• H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
• H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
• P. Cromwell, Polyhedra, CUP pbk. (1999).
• H.M. Cundy and A.P. Rollett, Mathematical Models, OUP (1961).
• J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 278 A (1975) pp. 111–135.
• M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p289 Vertex figures)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Vertex figure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Olshevsky, George. “Vertex figure”. 《Glossary for Hyperspace》. 2007년 2월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 
• Vertex Figures
• Consistent Vertex Descriptions