아이젠슈타인 판정법

대수학에서, 아이젠슈타인 판정법(-判定法, 영어: Eisenstein’s criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의편집

유일 인수 분해 정역  에서 계수를 취하는  차 다항식

 

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원  가 존재한다고 하자.

 
 
 

아이젠슈타인 판정법에 따르면,  분수체  다항식환   속에서 기약 다항식이다. 즉,  는 더 낮은 차수의 두   계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로  원시 다항식이라면,   에서 기약 다항식이다.[1]:183, §IV.3, Theorem 3.1[2]:144, §III.10, Proposition 10.9

보다 일반적으로, 정역  에서 계수를 취하는  차 다항식

 

가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼  가 존재한다고 하자.

 
 
 

그렇다면,  는 더 낮은 차수의 두   계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로  의 계수의 공약수가역원밖에 없다면,   에서 기약 다항식이다.[2]:145, §III.10, Exercise 14

증명편집

귀류법을 사용하여,   기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면,   차 다항식

 
 

가 존재한다.

 

이며,  소원이므로,  이거나  이다. 편의상  이라고 하자. 그렇다면  이므로  이다. 이제,

 

이므로  이며,

 
 

 를 취할 수 있다. 따라서

 

이며,  이므로 이는 모순이다.

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아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식  기약 다항식이다. 보다 일반적으로, 임의의   및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수  에 대하여,  기약 다항식이다. 이에 따라, 유리수체  다항식환  실수체복소수체와 달리 임의 차수의 기약 다항식을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수  거듭제곱근   ( )는 항상 무리수이다.

소수 번째 원분 다항식편집

소수  에 대하여,

 

의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만  의 기약성은

 

의 기약성과 동치이며,

 

이므로 (이는 분모는  의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라  기약 다항식이다. 따라서   역시 기약 다항식이다. 이는  번째 원분 다항식과 같다.

유리 함수체 위의 다항식편집

아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대  다항식

 

기약 다항식이다. 이는  유일 인수 분해 정역이며,  가 그 기약원이기 때문이다.

역사편집

고트홀트 아이젠슈타인의 이름을 땄다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 
  2. Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732. 

참고 문헌편집

  • John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.

외부 링크편집