대수학 에서 아이젠슈타인 판정법 (-判定法, 영어 : Eisenstein’s criterion )은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분조건 을 제시하는 정리이다. 고트홀트 아이젠슈타인 의 이름을 땄다.
유일 인수 분해 정역
R
{\displaystyle R}
에서 계수를 취하는
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
차 다항식
f
(
x
)
=
r
n
x
n
+
r
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
r
0
∈
R
[
x
]
{\displaystyle f(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{0}\in R[x]}
가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원
p
∈
R
{\displaystyle p\in R}
가 존재한다고 하자.
p
∤
r
n
{\displaystyle p\nmid r_{n}}
p
∣
r
0
,
…
,
r
n
−
1
{\displaystyle p\mid r_{0},\dots ,r_{n-1}}
p
2
∤
r
0
{\displaystyle p^{2}\nmid r_{0}}
아이젠슈타인 판정법 에 따르면,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는 분수체
Frac
R
{\displaystyle \operatorname {Frac} R}
의 다항식환
(
Frac
R
)
[
x
]
{\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]}
속에서 기약 다항식 이다. 즉,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는 더 낮은 차수의 두
R
{\displaystyle R}
계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
가 원시 다항식 이라면,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
에서 기약 다항식 이다.[1] :183, §IV.3, Theorem 3.1 [2] :144, §III.10, Proposition 10.9
보다 일반적으로, 정역
R
{\displaystyle R}
에서 계수를 취하는
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
차 다항식
f
(
x
)
=
r
n
x
n
+
r
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
r
0
∈
R
[
x
]
{\displaystyle f(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{0}\in R[x]}
가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼
p
⊊
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\subsetneq R}
가 존재한다고 하자.
r
n
∉
p
{\displaystyle r_{n}\not \in {\mathfrak {p}}}
r
0
,
…
,
r
n
−
1
∈
p
{\displaystyle r_{0},\dots ,r_{n-1}\in {\mathfrak {p}}}
r
0
∉
{
r
s
:
r
,
s
∈
p
}
{\displaystyle r_{0}\not \in \{rs\colon r,s\in {\mathfrak {p}}\}}
그렇다면,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는 더 낮은 차수의 두
R
{\displaystyle R}
계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 계수의 공약수 가 가역원 밖에 없다면,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
에서 기약 다항식 이다.[2] :145, §III.10, Exercise 14
귀류법 을 사용하여,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
가
(
Frac
R
)
[
x
]
{\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]}
의 기약 다항식 이 아니라고 가정하자. 그렇다면,
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}
인
d
,
e
≥
1
{\displaystyle d,e\geq 1}
차 다항식
g
(
x
)
=
s
d
x
d
+
s
d
−
1
x
d
−
1
+
⋯
+
s
0
∈
R
[
x
]
{\displaystyle g(x)=s_{d}x^{d}+s_{d-1}x^{d-1}+\cdots +s_{0}\in R[x]}
h
(
x
)
=
t
e
x
e
+
t
e
−
1
x
e
−
1
+
⋯
+
t
0
∈
R
[
x
]
{\displaystyle h(x)=t_{e}x^{e}+t_{e-1}x^{e-1}+\cdots +t_{0}\in R[x]}
가 존재한다.
p
∣
r
0
=
s
0
t
0
{\displaystyle p\mid r_{0}=s_{0}t_{0}}
이며,
p
{\displaystyle p}
는 소원 이므로,
p
∣
s
0
{\displaystyle p\mid s_{0}}
이거나
p
∣
t
0
{\displaystyle p\mid t_{0}}
이다. 편의상
p
∣
s
0
{\displaystyle p\mid s_{0}}
이라고 하자. 그렇다면
p
2
∤
r
0
{\displaystyle p^{2}\nmid r_{0}}
이므로
p
∤
t
0
{\displaystyle p\nmid t_{0}}
이다. 이제,
p
∤
r
n
=
s
d
t
e
{\displaystyle p\nmid r_{n}=s_{d}t_{e}}
이므로
p
∤
s
d
{\displaystyle p\nmid s_{d}}
이며,
p
∣
s
0
,
…
,
s
k
−
1
{\displaystyle p\mid s_{0},\dots ,s_{k-1}}
p
∤
s
k
{\displaystyle p\nmid s_{k}}
인
1
≤
k
≤
d
{\displaystyle 1\leq k\leq d}
를 취할 수 있다. 따라서
p
∤
s
0
t
k
+
s
1
t
k
−
1
+
⋯
+
s
k
−
1
t
1
+
s
k
t
0
=
r
k
{\displaystyle p\nmid s_{0}t_{k}+s_{1}t_{k-1}+\cdots +s_{k-1}t_{1}+s_{k}t_{0}=r_{k}}
이며,
k
≤
d
<
d
+
e
=
n
{\displaystyle k\leq d<d+e=n}
이므로 이는 모순이다.
아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식
x
4
+
2
∈
Z
[
x
]
{\displaystyle x^{4}+2\in \mathbb {Z} [x]}
는 기약 다항식 이다. 보다 일반적으로, 임의의
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수
a
≥
2
{\displaystyle a\geq 2}
에 대하여,
x
n
±
a
∈
Z
[
x
]
{\displaystyle x^{n}\pm a\in \mathbb {Z} [x]}
는 기약 다항식 이다. 이에 따라, 유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
의 다항식환
Q
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Q} [x]}
는 실수체 나 복소수체 와 달리 임의 차수의 기약 다항식 을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수
a
≥
2
{\displaystyle a\geq 2}
의 거듭제곱근
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
(
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
)는 항상 무리수 이다.
소수
p
{\displaystyle p}
에 대하여,
f
(
x
)
=
x
p
−
1
+
x
p
−
2
+
⋯
+
1
=
x
p
−
1
x
−
1
∈
Q
[
x
]
{\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1={\frac {x^{p}-1}{x-1}}\in \mathbb {Q} [x]}
의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 기약성은
f
(
x
+
1
)
=
(
x
+
1
)
p
−
1
x
=
∑
i
=
1
p
(
p
i
)
x
i
−
1
∈
Q
[
x
]
{\displaystyle f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=\sum _{i=1}^{p}{\binom {p}{i}}x^{i-1}\in \mathbb {Q} [x]}
의 기약성과 동치이며,
p
∣
p
(
p
−
1
)
⋯
2
⋅
1
i
!
=
(
p
i
)
∀
i
∈
{
1
,
…
,
p
−
1
}
{\displaystyle p\mid {\frac {p(p-1)\cdots 2\cdot 1}{i!}}={\binom {p}{i}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,p-1\}}
이므로 (이는 분모는
p
{\displaystyle p}
의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라
f
(
x
+
1
)
∈
Q
[
x
]
{\displaystyle f(x+1)\in \mathbb {Q} [x]}
는 기약 다항식 이다. 따라서
f
(
x
)
∈
Q
[
x
]
{\displaystyle f(x)\in \mathbb {Q} [x]}
역시 기약 다항식 이다. 이는
p
{\displaystyle p}
번째 원분 다항식 과 같다.
아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대
K
(
t
)
/
K
{\displaystyle K(t)/K}
속 다항식
x
n
−
t
∈
K
(
t
)
[
x
]
{\displaystyle x^{n}-t\in K(t)[x]}
는 기약 다항식 이다. 이는
K
[
t
]
{\displaystyle K[t]}
가 유일 인수 분해 정역 이며,
t
∈
K
[
t
]
{\displaystyle t\in K[t]}
가 그 기약원 이기 때문이다.
John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra , Addison-Wesley, 2003.