거리 공간 이론에서, 길이 거리 공간 (-距離空間, 영어 : length metric space )은 두 점 사이의 거리가 두 점을 잇는 곡선들의 길이들의 하한으로 주어지는 거리 공간 이다.[1] [2]
로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
속의 곡선 (영어 : curve )
γ
:
[
a
,
b
]
→
X
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}
는 임의의 닫힌구간
[
a
,
b
]
⊆
R
{\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} }
에서
X
{\displaystyle X}
로 가는 함수 이다.
곡선
γ
:
[
a
,
b
]
→
X
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}
가 주어졌을 때, 각 양의 정수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
에 대하여, 값
length
n
(
γ
)
=
def
sup
a
=
t
0
<
t
1
<
t
2
<
⋯
<
t
n
=
b
∑
i
=
0
n
−
1
d
(
γ
(
t
i
)
,
γ
(
t
i
+
1
)
)
=
{
sup
a
<
t
<
b
(
d
(
γ
(
a
)
,
γ
(
t
)
)
+
length
n
−
1
(
γ
↾
[
t
,
b
]
)
)
n
>
1
d
(
γ
(
a
)
,
γ
(
b
)
)
n
=
1
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \operatorname {length} _{n}(\gamma ){\stackrel {\text{def}}{=}}\sup _{a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dotsb <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d\left(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1})\right)={\begin{cases}\sup _{a<t<b}\left(d(\gamma (a),\gamma (t))+\operatorname {length} _{n-1}(\gamma \upharpoonright [t,b])\right)&n>1\\d(\gamma (a),\gamma (b))&n=1\end{cases}}\in [0,\infty ]}
를 정의할 수 있다. 로비어 공간 의 정의의 일부인 삼각 부등식 에 의하여, 이 함수는 항상 증가 함수 이다. 곡선
γ
{\displaystyle \gamma }
의 길이 (영어 : length )는 이 수열의 상한 이다.[2] :12, Definition 1.18 [3] :202, §1.1.2
length
(
γ
)
=
def
lim
n
→
∞
length
n
(
γ
)
=
sup
n
∈
Z
+
length
n
(
γ
)
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \operatorname {length} (\gamma ){\stackrel {\text{def}}{=}}\lim _{n\to \infty }\operatorname {length} _{n}(\gamma )=\sup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\operatorname {length} _{n}(\gamma )\in [0,\infty ]}
길이가 유한한 곡선을 길이를 갖는 곡선 (-曲線, 영어 : rectifiable curve )이라고 한다.[2] :12, Definition 1.18 [3] :202, §1.1.2
길이의 정의에서,
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
의 전순서 만을 사용하였으므로, 거리의 정의는 매개 변수의 변환에 의존하지 않는다. 즉, 임의의 전단사 증가 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
[
c
,
d
]
{\displaystyle f\colon [a,b]\to [c,d]}
및 곡선
γ
:
[
c
,
d
]
→
X
{\displaystyle \gamma \colon [c,d]\to X}
에 대하여,
length
(
γ
)
=
length
(
γ
∘
f
)
{\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )=\operatorname {length} (\gamma \circ f)}
가 성립한다.
로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
위의 다음과 같은 함수를 내재적 거리 (內在的距離, 영어 : intrinsic distance )라고 한다.[2] :32, Definition 3.1 [3] :203, Definition 1.5
d
I
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle d_{\text{I}}\colon X\times X\to [0,\infty ]}
d
I
(
x
,
y
)
=
inf
γ
∈
Curve
(
x
,
y
)
length
γ
{\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\inf _{\gamma \in \operatorname {Curve} (x,y)}\operatorname {length} \gamma }
여기서
Curve
(
x
,
y
)
{\displaystyle \operatorname {Curve} (x,y)}
는
x
{\displaystyle x}
에서
y
{\displaystyle y}
로 가는, 즉
γ
:
[
a
,
b
]
→
X
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}
γ
(
a
)
=
x
{\displaystyle \gamma (a)=x}
γ
(
b
)
=
y
{\displaystyle \gamma (b)=y}
의 꼴인 모든 곡선들의 집합이다.
(
X
,
d
I
)
{\displaystyle (X,d_{\text{I}})}
역시 로비어 공간 을 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.
일반적으로 다음이 성립한다.
d
(
x
,
y
)
≤
d
I
(
x
,
y
)
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle d(x,y)\leq d_{\text{I}}(x,y)\qquad \forall x,y\in X}
d
=
d
I
{\displaystyle d=d_{\text{I}}}
가 되는 로비어 공간 을 길이 로비어 공간 (영어 : length Lawvere space )라고 하고, 추가로 거리 공간 을 이룬다면 이를 길이 거리 공간 (영어 : length metric space )이라고 한다.[2] :32, Definition 3.1
일반적으로
d
(
x
,
y
)
≤
d
I
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\leq d_{\text{I}}(x,y)}
이므로,
d
I
{\displaystyle d_{\text{I}}}
-거리 위상 은
d
{\displaystyle d}
-거리 위상 보다 더 섬세하다.
볼록 거리 공간 (영어 : convex metric space )
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
는 임의의
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
에 대하여,
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
라면
d
(
x
,
m
)
+
d
(
m
,
y
)
=
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,m)+d(m,y)=d(x,y)}
가 되는
m
∈
X
{\displaystyle m\in X}
가 존재하는 거리 공간 이다. 모든 완비 볼록 거리 공간은 길이 거리 공간이다.[4] :Theorem 2.16 (그러나 볼록 거리 공간이 아닌 길이 거리 공간이 존재한다.)
근사적 중점을 갖는 거리 공간 (영어 : metric space with approximate midpoints )
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
는 다음 조건을 갖는 거리 공간이다.
임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
및 두 점
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
에 대하여,
2
d
(
x
,
m
)
<
d
(
x
,
y
)
+
ϵ
{\displaystyle 2d(x,m)<d(x,y)+\epsilon }
이자
2
d
(
y
,
m
)
<
d
(
x
,
y
)
+
ϵ
)
{\displaystyle 2d(y,m)<d(x,y)+\epsilon )}
인 점
m
∈
X
{\displaystyle m\in X}
가 존재한다.
모든 길이 거리 공간은 근사적 중점을 갖는 거리 공간이다. 완비 거리 공간 에 대하여, 길이 거리 공간 조건과 근사적 중점을 갖는 조건은 서로 동치 이다.
연결 리만 다양체 의 표준적인 거리 공간 구조는 길이 거리 공간을 이룬다. 특히, 유클리드 공간 위의 표준적인 거리 구조는 길이 거리 공간을 이룬다. 마찬가지로, 모든 연결 핀슬러 다양체 는 길이 공간을 이룬다.
임의의 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
에 대하여, 모든 내재적 거리가 유한하다면,
(
X
,
d
I
)
{\displaystyle (X,d_{\text{I}})}
는 길이 거리 공간을 이룬다.
이산 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
은 다음과 같은 이산 계량을 갖는다.
d
(
x
,
y
)
=
{
0
x
=
y
1
x
≠
y
{\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}}
이산 공간 위에서 모든 곡선은 상수 함수 이므로, 모든 이산 공간은 (자명하게) 길이 거리 공간을 이룬다.
유클리드 공간 속의 초구
S
n
−
1
⊂
R
n
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}}
를 생각하자. 이를 유클리드 공간의 부분 거리 공간으로 여긴다면, 이는 길이 거리 공간을 이루지 않는다. 초구 위의 두 점 사이의 내재적 거리는 두 점을 잇는 대원 의 호의 길이이다. (정확하게는 이러한 호는 두 개가 있으며, 둘 가운데 더 짧은 것을 말한다.)
d
I
(
x
,
y
)
=
arccos
(
x
⋅
y
)
∈
[
0
,
π
]
(
‖
x
‖
=
‖
y
‖
=
1
)
{\displaystyle d_{\text{I}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\arccos(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\in [0,\pi ]\qquad (\|\mathbf {x} \|=\|\mathbf {y} \|=1)}
원점을 제거한 유클리드 공간
R
n
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}
을 유클리드 공간의 부분 거리 공간으로 생각한다면, 이는 길이 거리 공간이지만 완비 거리 공간이 아니다.
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
에 로비어 공간 구조
d
(
x
,
y
)
=
{
0
x
≲
y
∞
x
≴
y
{\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x\lesssim y\\\infty &x\not \lesssim y\end{cases}}}
를 주자.
그렇다면, 그 위의 임의의 곡선
γ
:
[
a
,
b
]
→
X
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}
의 길이는 다음과 같다.
만약
γ
{\displaystyle \gamma }
가 증가 함수 라면 (
∀
s
,
t
∈
[
a
,
b
]
:
s
≤
t
⟹
γ
(
s
)
≲
γ
(
t
)
{\displaystyle \forall s,t\in [a,b]\colon s\leq t\implies \gamma (s)\lesssim \gamma (t)}
), 그 길이는 0이다.
만약
γ
{\displaystyle \gamma }
가 증가 함수 가 아니라면 그 길이는 ∞이다.
length
γ
=
{
0
∀
s
,
t
∈
[
a
,
b
]
:
s
≤
t
⟹
γ
(
s
)
≲
γ
(
t
)
∞
∃
s
,
t
∈
[
a
,
b
]
,
s
≤
t
:
γ
(
s
)
≴
γ
(
t
)
{\displaystyle \operatorname {length} \gamma ={\begin{cases}0&\forall s,t\in [a,b]\colon s\leq t\implies \gamma (s)\lesssim \gamma (t)\\\infty &\exists s,t\in [a,b],\;s\leq t\colon \gamma (s)\not \lesssim \gamma (t)\\\end{cases}}}
특히, 만약
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
가 이산 공간 이라면 (
x
≲
y
⟹
x
=
y
{\displaystyle x\lesssim y\implies x=y}
) 거리가 0인 곡선은 상수 곡선 밖에 없으며, 다른 곡선의 길이는 ∞이다.