기하학 에서 로비어 공간 (Lawvere空間) 또는 일반화 거리 공간 (一般化距離空間, 영어 : generalized metric space ) 또는 반거리 공간 (半距離空間, 영어 : hemimetric space ) 또는 확장 준 유사 거리 공간 (擴張準類似距離空間, 영어 : extended quasipseudometric space , 약자 ∞qp-거리 공간 영어 : ∞qp-metric space )은 거리 공간 및 유사 거리 공간 및 확장 유사 거리 공간 의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다.
로비어 공간 의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.
기초적으로, 일련의 공리를 만족시키는 거리 함수를 갖춘 집합 으로 정의될 수 있다.
더 일반적인 개념은 접근 공간 (영어 : approach space )의 특수한 경우로 정의될 수 있다.
풍성한 범주 의 이론을 사용하여, 음이 아닌 확장된 실수 의 닫힌 모노이드 범주 위의 풍성한 범주 로 정의될 수 있다.
두 정의는 서로 동치 이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 범주론 적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다.
기초적 정의
편집
집합
X
{\displaystyle X}
위의 로비어 계량 (영어 : Lawvere metric )은 다음 두 조건을 만족시키는, 확장된 실수 값 함수
d
:
X
2
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle d\colon X^{2}\to [0,\infty ]}
이다.[1] :231, Definition B.1.1
(삼각 부등식 ) 임의의
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
에 대하여,
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
≤
d
(
x
,
z
)
{\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\leq d(x,z)}
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
d
(
x
,
x
)
=
0
{\displaystyle d(x,x)=0}
다만, 위 정의에서
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
일 필요는 없다. 이 조건을 추가로 만족시키는 로비어 공간을 확장 유사 거리 공간 이라고 한다. 만약
d
{\displaystyle d}
의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 유사 거리 공간 이 된다.
로비어 공간들과 상수 1의 립시츠 연속 함수 들, 즉 함수
f
:
(
X
,
d
X
)
→
(
Y
,
d
Y
)
{\displaystyle f\colon (X,d_{X})\to (Y,d_{Y})}
가운데
d
X
(
x
,
x
′
)
≤
d
Y
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
{\displaystyle d_{X}(x,x')\leq d_{Y}(f(x),f(x'))}
를 만족시키는 것들은 구체적 범주 를 이룬다. 이를
∞
p
q
M
e
t
{\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} }
라고 표기하자.
접근 구조를 통한 정의
편집
집합
X
{\displaystyle X}
위의 접근 구조 (接近構造, 영어 : approach structure )
δ
{\displaystyle \delta }
는 다음 네 조건을 만족시키는 함수
δ
:
X
×
P
(
X
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \delta \colon X\times {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}
이다.
∀
x
∈
X
:
δ
(
x
,
{
x
}
)
=
0
{\displaystyle \forall x\in X\colon \delta (x,\{x\})=0}
∀
x
∈
X
:
δ
(
x
,
∅
)
=
∞
{\displaystyle \forall x\in X\colon \delta (x,\varnothing )=\infty }
∀
x
∈
X
∀
A
,
B
⊆
X
:
δ
(
x
,
A
∪
B
)
=
min
{
δ
(
x
,
A
)
,
δ
(
x
,
B
)
}
{\displaystyle \forall x\in X\forall A,B\subseteq X\colon \delta (x,A\cup B)=\min\{\delta (x,A),\delta (x,B)\}}
∀
ϵ
∈
[
0
,
∞
]
∀
x
∈
X
∀
A
⊆
X
:
δ
(
x
,
A
)
≤
δ
(
x
,
{
y
∈
X
:
δ
(
y
,
A
)
≤
ϵ
}
)
+
ϵ
{\displaystyle \forall \epsilon \in [0,\infty ]\forall x\in X\forall A\subseteq X\colon \delta (x,A)\leq \delta (x,\{y\in X\colon \delta (y,A)\leq \epsilon \})+\epsilon }
접근 구조를 갖춘 집합을 접근 공간 (接近空間, 영어 : approach space )이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간
(
X
,
δ
)
{\displaystyle (X,\delta )}
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.[1] :96, Theorem 3.1.11
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
및 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
에 대하여,
δ
(
x
,
Y
)
=
inf
y
∈
Y
δ
(
x
,
{
y
}
)
{\displaystyle \textstyle \delta (x,Y)=\inf _{y\in Y}\delta (x,\{y\})}
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
및 집합족
Y
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {Y}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
δ
(
x
,
⋃
Y
)
=
inf
Y
∈
Y
δ
(
x
,
Y
)
{\displaystyle \textstyle \delta (x,\bigcup {\mathcal {Y}})=\inf _{Y\in {\mathcal {Y}}}\delta (x,Y)}
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle X\times X\to [0,\infty ]}
,
(
x
,
y
)
↦
δ
(
x
,
{
y
}
)
{\displaystyle (x,y)\mapsto \delta (x,\{y\})}
는 로비어 계량을 이룬다.
이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 로비어 공간 이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 한원소 집합 만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다.
반대로, 로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는
δ
(
x
,
Y
)
=
inf
y
∈
Y
d
(
x
,
y
)
∈
[
0
,
∞
]
∀
Y
⊆
X
{\displaystyle \delta (x,Y)=\inf _{y\in Y}d(x,y)\in [0,\infty ]\qquad \forall Y\subseteq X}
가 된다.
범주론적 정의
편집
다음과 같은 작은 범주
C
=
[
0
,
∞
]
op
{\displaystyle {\mathcal {C}}=[0,\infty ]^{\operatorname {op} }}
를 생각하자.
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 대상은 음이 아닌 확장된 실수 이다.
임의의 두
a
,
b
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle a,b\in [0,\infty ]}
에 대하여, 만약
a
≥
b
{\displaystyle a\geq b}
라면, 하나의 사상
a
→
b
{\displaystyle a\to b}
가 존재한다.
이 범주는 완비 범주 이며, 텐서곱
a
⊗
b
=
a
+
b
{\displaystyle a\otimes b=a+b}
에 대하여 닫힌 모노이드 범주 를 이룬다. 이에 따라
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
에 대한 풍성한 범주 의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
-풍성한 작은 범주
X
{\displaystyle X}
를 로비어 공간 이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 립시츠 연속 함수 의 개념과 일치한다.
두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.
기초적 정의
범주론적 정의
공간 속의 점
범주의 대상
거리 함수
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)}
사상 집합
hom
X
(
x
,
y
)
{\displaystyle \hom _{X}(x,y)}
삼각 부등식
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
≥
d
(
x
,
z
)
{\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)}
사상의 합성
hom
X
(
y
,
z
)
∘
hom
X
(
x
,
y
)
→
hom
X
(
x
,
z
)
{\displaystyle \hom _{X}(y,z)\circ \hom _{X}(x,y)\to \hom _{X}(x,z)}
스스로와의 거리
d
(
x
,
x
)
=
0
{\displaystyle d(x,x)=0}
항등 사상
유사 거리 공간 의 경우와 달리, 로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
위에는 다양한 위상이 사용된다.
로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
위의, 중심
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
의, 반지름
r
∈
(
0
,
∞
]
{\displaystyle r\in (0,\infty ]}
의 열린 공 (영어 : open ball )은 다음과 같다.[1] :231, Definition B.1.1
ball
X
(
x
,
r
)
=
{
y
∈
X
:
d
(
x
,
y
)
<
r
}
{\displaystyle \operatorname {ball} _{X}(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}}
열린 공들의 집합족
{
ball
X
(
x
,
r
)
:
r
∈
(
0
,
∞
]
,
x
∈
X
}
{\displaystyle \left\{\operatorname {ball} _{X}(x,r)\colon r\in (0,\infty ],\;x\in X\right\}}
은 위상의 기저 를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 일반화 알렉산드로프 위상 (영어 : generalized Alexandroff topology ) 또는 열린 공 위상 (영어 : open ball topology )이라고 한다.[2] :21, §6
증명:
다음 두 조건을 보이면 족하다.
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여
ball
(
x
,
∞
)
=
X
{\displaystyle \operatorname {ball} (x,\infty )=X}
이므로, 열린 공들은
X
{\displaystyle X}
의 덮개 를 이룬다.
임의의
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
및
r
,
s
∈
(
0
,
∞
]
{\displaystyle r,s\in (0,\infty ]}
및
z
∈
ball
X
(
x
,
r
)
∩
ball
X
(
y
,
s
)
{\displaystyle z\in \operatorname {ball} _{X}(x,r)\cap \operatorname {ball} _{X}(y,s)}
에 대하여,
t
=
min
{
r
−
d
(
x
,
z
)
,
s
−
d
(
y
,
z
)
}
{\displaystyle t=\min\{r-d(x,z),s-d(y,z)\}}
를 정의하면, 삼각 부등식 에 의하여
ball
X
(
z
,
t
)
⊆
ball
X
(
x
,
r
)
∩
ball
X
(
y
,
s
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{X}(z,t)\subseteq \operatorname {ball} _{X}(x,r)\cap \operatorname {ball} _{X}(y,s)}
이다.
일반화 스콧 위상
편집
로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
속의 점렬
(
x
i
)
i
∈
N
{\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
이 다음 조건을 만족시키면 코시 열 이라고 하자.[2] :6, §3
∀
ϵ
∈
R
+
∃
N
ϵ
∈
N
∀
i
≥
N
ϵ
∀
j
≥
i
:
d
(
x
i
,
x
j
)
<
ϵ
{\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\exists N_{\epsilon }\in \mathbb {N} \forall i\geq N_{\epsilon }\forall j\geq i\colon d(x_{i},x_{j})<\epsilon }
여기서
j
≥
i
{\displaystyle j\geq i}
이어야 하는 것에 주의하자. (마찬가지로 그 반대 개념을 정의할 수 있다. 즉,
X
{\displaystyle X}
의 코시 열과
X
op
{\displaystyle X^{\operatorname {op} }}
의 코시 열은 일반적으로 다르다.) 코시 열
(
x
i
)
i
∈
N
{\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}
에 대하여, 만약
lim sup
i
→
∞
d
(
x
i
,
x
)
=
0
{\displaystyle \limsup _{i\to \infty }d(x_{i},x)=0}
이라면,
x
i
{\displaystyle x_{i}}
가
x
{\displaystyle x}
로 수렴 한다고 하자.
로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
위의 일반화 스콧 위상 (영어 : generalized Scott topology )에서, 부분 집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
가 열린집합 일 필요 충분 조건 은 다음과 같다.
임의의 코시 열
x
0
,
x
1
,
…
∈
X
{\displaystyle x_{0},x_{1},\dotsc \in X}
가
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
로 수렴한다면,
x
∈
U
⟺
∃
(
N
,
ϵ
)
∈
N
×
R
+
:
⋃
i
≥
N
ball
X
(
x
i
,
ϵ
)
⊆
U
{\displaystyle x\in U\iff \exists (N,\epsilon )\in \mathbb {N} \times \mathbb {R} ^{+}\colon \bigcup _{i\geq N}\operatorname {ball} _{X}(x_{i},\epsilon )\subseteq U}
일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상 이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상 들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 (일반위상수학 의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 엉성한 위상 이다.
만약
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
가 확장 유사 거리 공간 이라면, 일반화 알렉산드로프 위상과 일반화 스콧 위상은
X
{\displaystyle X}
의 일반적인 위상과 같다.[2] :21–22, §6 만약
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
가 원순서 집합 이라면 (즉,
d
{\displaystyle d}
의 치역 이
{
0
,
∞
}
{\displaystyle \{0,\infty \}}
라면),
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
의 일반화 알렉산드로프 위상은 알렉산드로프 위상 과 같다.[2] :21, §6
반대 공간
편집
임의의 로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
에 대하여, 그 반대 로비어 공간 (反對Lawvere空間, 영어 : opposite Lawvere space )
X
op
=
(
X
,
d
op
)
{\displaystyle X^{\operatorname {op} }=(X,d^{\operatorname {op} })}
을 다음과 같이 정의할 수 있다.[2] :5, §2
d
op
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle d^{\operatorname {op} }(x,y)=d(y,x)\qquad \forall x,y\in X}
이는 반대 범주 의 개념의 특수한 경우이다.
로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다.
d
max
(
x
,
y
)
=
max
{
d
(
x
,
y
)
,
d
(
y
,
x
)
}
{\displaystyle d^{\max(}x,y)=\max\{d(x,y),d(y,x)\}}
d
avg
(
x
,
y
)
=
1
2
(
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
x
)
)
{\displaystyle d^{\text{avg}}(x,y)={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(y,x)\right)}
그렇다면,
(
X
,
d
max
)
{\displaystyle (X,d^{\max })}
와
(
X
,
d
avg
)
{\displaystyle (X,d^{\text{avg}})}
둘 다 확장 유사 거리 공간 을 이룬다.
만약
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
가 이미 확장 유사 거리 공간 이라면
(
X
,
d
)
=
(
X
,
d
avg
)
=
(
X
,
d
max
)
{\displaystyle (X,d)=(X,d^{\text{avg}})=(X,d^{\max })}
이다.
로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
및 음이 아닌 확장된 실수
C
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle C\in [0,\infty ]}
에 대하여,
(
X
,
C
d
)
{\displaystyle (X,Cd)}
역시 로비어 공간이다. (만약
C
=
0
{\displaystyle C=0}
일 경우, 이는 비이산 공간 이다. 만약
C
=
∞
{\displaystyle C=\infty }
일 경우,
∞
⋅
0
=
0
{\displaystyle \infty \cdot 0=0}
으로 정의하며, 이는 원순서 집합 이다.)
로비어 계량의 합성
편집
집합
X
{\displaystyle X}
위에 로비어 계량들의 족
(
d
i
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
)
i
∈
I
{\displaystyle (d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ])_{i\in I}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
sup
i
∈
I
d
i
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \sup _{i\in I}d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ]}
sup
i
∈
I
d
i
:
(
x
,
y
)
↦
sup
i
∈
I
d
i
(
x
,
y
)
{\displaystyle \sup _{i\in I}d_{i}\colon (x,y)\mapsto \sup _{i\in I}d_{i}(x,y)}
역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 항등 함수 에 대한 시작 구조 의 특수한 경우이다.
마찬가지로, 가산 개의 로비어 계량의 족
(
d
i
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
)
i
∈
I
{\displaystyle (d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ])_{i\in I}}
|
I
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |I|\leq \aleph _{0}}
이 주어졌을 때,
∑
i
∈
I
d
i
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \sum _{i\in I}d_{i}\colon X\times X\to [0,\infty ]}
∑
i
∈
I
d
i
:
(
x
,
y
)
↦
∑
i
∈
I
d
i
(
x
,
y
)
{\displaystyle \sum _{i\in I}d_{i}\colon (x,y)\mapsto \sum _{i\in I}d_{i}(x,y)}
역시 로비어 계량을 이룬다. (특히, 만약
I
{\displaystyle I}
가 유한 집합 이라면, 평균 계량
∑
i
∈
I
d
i
/
|
I
|
{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}d_{i}/|I|}
역시 로비어 계량이다.)
주어진 함수를 상계로 하는 최대 로비어 계량
편집
임의의 집합
X
{\displaystyle X}
및 임의의 함수
f
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle f\colon X\times X\to [0,\infty ]}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합
D
⊆
[
0
,
∞
]
X
×
X
{\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq [0,\infty ]^{X\times X}}
가
d
(
x
,
y
)
≤
f
(
x
,
y
)
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle d(x,y)\leq f(x,y)\qquad \forall x,y\in X}
를 만족시키는 로비어 계량
d
{\displaystyle d}
들의 집합이라고 하자. (
d
=
0
{\displaystyle d=0}
이 로비어 계량이므로, 이는 항상 공집합 이 아니다.) 그렇다면, 이는 최대 원소
d
max
=
sup
D
=
max
D
{\displaystyle d^{\max }=\sup {\mathcal {D}}=\max {\mathcal {D}}}
d
max
(
x
,
y
)
=
sup
d
∈
D
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d^{\max }(x,y)=\sup _{d\in {\mathcal {D}}}d(x,y)}
를 가지며, 이는
f
{\displaystyle f}
를 상계 로 하는 최대의 로비어 계량이다.
구체적으로, 임의의 집합
X
{\displaystyle X}
및 함수
f
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle f\colon X\times X\to [0,\infty ]}
가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.
d
0
(
x
,
y
)
=
{
0
x
=
y
∞
x
≠
y
{\displaystyle d_{0}(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\\infty &x\neq y\end{cases}}}
d
1
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle d_{1}(x,y)=f(x,y)}
d
i
(
x
0
,
x
i
)
=
inf
x
1
,
…
,
x
i
−
1
∈
X
(
f
(
x
0
,
x
1
)
+
f
(
x
1
,
x
2
)
+
⋯
+
f
(
x
i
−
1
,
x
i
)
)
(
i
=
2
,
3
,
…
)
{\displaystyle d_{i}(x_{0},x_{i})=\inf _{x_{1},\dotsc ,x_{i-1}\in X}\left(f(x_{0},x_{1})+f(x_{1},x_{2})+\dotsb +f(x_{i-1},x_{i})\right)\qquad (i=2,3,\dotsc )}
그렇다면,
f
{\displaystyle f}
에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다.
d
(
x
,
y
)
=
inf
i
∈
N
d
i
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)=\inf _{i\in \mathbb {N} }d_{i}(x,y)}
로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
에 대하여 다음과 같은 동치 관계 를 정의할 수 있다.[2] :6, §2
x
∼
0
y
⟺
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
=
0
(
x
,
y
∈
X
)
{\displaystyle x\sim _{0}y\iff d(x,y)=d(y,x)=0\qquad (x,y\in X)}
이에 대하여 몫집합
X
/
∼
0
{\displaystyle X/\sim _{0}}
위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약
X
{\displaystyle X}
가 유사 거리 공간 이라면,
X
/
∼
0
{\displaystyle X/\sim _{0}}
는 거리 공간 을 이룬다.
마찬가지로, 로비어 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
에 대하여 다음과 같은 동치 관계 를 정의할 수 있다.
x
∼
∞
y
⟺
max
{
d
(
x
,
y
)
,
d
(
y
,
x
)
}
<
∞
(
x
,
y
∈
X
)
{\displaystyle x\sim _{\infty }y\iff \max\{d(x,y),d(y,x)\}<\infty \qquad (x,y\in X)}
이에 대한 몫집합
X
/
∼
∞
{\displaystyle X/\sim _{\infty }}
은 대략
X
{\displaystyle X}
의 “연결 성분”들의 집합으로 생각할 수 있다.
X
/
∼
∞
{\displaystyle X/\sim _{\infty }}
위에는 자연스럽게 원순서
[
x
]
∼
∞
≲
[
y
]
∼
∞
⟺
d
(
x
,
y
)
<
∞
{\displaystyle [x]_{\sim _{\infty }}\lesssim [y]_{\sim _{\infty }}\iff d(x,y)<\infty }
를 취할 수 있다. 만약
X
{\displaystyle X}
가 원순서 집합 이라면,
X
/
∼
∞
=
X
{\displaystyle X/\sim _{\infty }=X}
이다.
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족
(
X
i
,
d
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i},d_{i})_{i\in I}}
의 분리합 (영어 : disjoint sum )은 집합으로서 분리합집합
X
=
⨆
i
∈
I
X
i
{\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}}
이다. 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
d
(
x
,
y
)
=
{
d
i
(
x
,
y
)
i
=
j
∞
i
≠
j
(
x
∈
X
i
,
y
∈
X
j
)
{\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}d_{i}(x,y)&i=j\\\infty &i\neq j\end{cases}}\qquad (x\in X_{i},\;y\in X_{j})}
이 연산은 로비어 공간의 범주
∞
p
q
M
e
t
{\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} }
의 범주론적 쌍대곱 을 이룬다.
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족
(
X
i
,
d
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i},d_{i})_{i\in I}}
의 곱 은 집합으로서 곱집합
X
=
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}
이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
d
(
x
,
y
)
=
sup
i
∈
I
d
i
(
x
i
,
y
i
)
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle d(x,y)=\sup _{i\in I}d_{i}(x_{i},y_{i})\qquad \forall x,y\in X}
이 연산은 로비어 공간의 범주
∞
p
q
M
e
t
{\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} }
의 범주론적 곱 을 이룬다.[1] :233, §B.1
시작 계량과 끝 계량
편집
로비어 공간의 범주의 망각 함자
∞
p
q
M
e
t
→
Set
{\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Set} }
는 위상 함자 이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다.
구체적으로, 임의의 집합
X
{\displaystyle X}
및 로비어 공간들의 족
(
Y
i
,
d
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},d_{i})_{i\in I}}
및 함수의 족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
가 주어졌을 때,
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
로 유도되는,
X
{\displaystyle X}
위의 시작 로비어 계량 (영어 : initial Lawvere metric )은 다음과 같다.
d
X
(
x
,
x
′
)
=
sup
∈
I
d
i
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
x
′
)
)
{\displaystyle d_{X}(x,x')=\sup _{\in I}d_{i}(f_{i}(x),f_{i}(x'))}
마찬가지로, 임의의 집합
X
{\displaystyle X}
및 로비어 공간들의 족
(
Y
i
,
d
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i},d_{i})_{i\in I}}
및 함수의 족
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}
가 주어졌을 때,
(
f
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}
로 유도되는,
X
{\displaystyle X}
위의 끝 로비어 계량 (영어 : final Lawvere metric )은 함수
f
:
X
×
X
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle f\colon X\times X\to [0,\infty ]}
f
:
(
x
,
x
′
)
↦
inf
i
∈
I
d
i
(
f
i
(
x
)
,
f
i
(
x
′
)
)
{\displaystyle f\colon (x,x')\mapsto \inf _{i\in I}d_{i}(f_{i}(x),f_{i}(x'))}
를 상계 로 하는 최대 로비어 계량이다.
함의 관계
편집
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
길이 거리 공간 ⇒ 거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간
범주론적 성질
편집
로비어 공간의 범주
∞
p
q
M
e
t
{\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} }
가 주어졌을 때, 망각 함자
∞
p
q
M
e
t
→
Set
{\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Set} }
는 위상 함자 이다.[1] :233, Proposition B.1.2 특히, 만약 집합
X
{\displaystyle X}
위의 임의의 함수족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
이 주어졌으며
(
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}
들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 시작 로비어 계량 (영어 : initial Lawvere metric )을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 시작 위상 과 유사하다. 마찬가지로, 집합
X
{\displaystyle X}
로 가는 임의의 함수족
(
f
i
:
Y
i
→
X
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}
이 주어졌으며
(
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}
들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 끝 로비어 계량 (영어 : final Lawvere metric )을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 끝 위상 과 유사하다.
또한, 위상 공간 과 연속 함수 의 범주 로 가는 망각 함자
∞
p
q
M
e
t
→
Top
{\displaystyle \operatorname {\infty pqMet} \to \operatorname {Top} }
가 존재하며, 이는 로비어 공간에 열린 공 위상을 대응시킨다.
위상 공간의 로비어 계량을 통한 표현
편집
임의의 위상 은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 위상 공간
(
X
,
U
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는,
X
{\displaystyle X}
위의 로비어 계량들의 집합
(
d
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (d_{i})_{i\in I}}
이 존재한다.[3] :95, Theorem 7
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
는 항등 함수
f
i
:
X
→
(
X
,
d
i
)
{\displaystyle f_{i}\colon X\to (X,d_{i})}
들에 의하여 생성되는 시작 위상 이다. (여기서 로비어 공간
(
X
,
d
i
)
{\displaystyle (X,d_{i})}
에는 열린 공 위상을 부여한다.)
|
I
|
≤
|
U
|
{\displaystyle |I|\leq |{\mathcal {U}}|}
이다.
구성:
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 임의의 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
에 대하여, 다음을 정의하자.
d
U
(
x
,
y
)
=
{
0
x
∉
U
0
x
∈
U
∋
y
∞
x
∈
U
∌
y
{\displaystyle d_{U}(x,y)={\begin{cases}0&x\not \in U\\0&x\in U\ni y\\\infty &x\in U\not \ni y\end{cases}}}
이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 한원소 집합
{
U
}
{\displaystyle \{U\}}
를 기저 로 하는 위상, 즉
{
∅
,
U
,
X
}
{\displaystyle \{\varnothing ,U,X\}}
이다.
이에 따라, 로비어 계량들의 집합
{
d
U
}
U
∈
U
{\displaystyle \{d_{U}\}_{U\in {\mathcal {U}}}}
은 위 조건을 자명하게 만족시킨다.
역사와 어원
편집
프랜시스 윌리엄 로비어 가 도입하였다.[4]
이 개념은 거리 공간 의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다.
“
The first of these [non-identity of two points with zero distance] is not very natural from the categorical viewpoint, since it corresponds to requiring that isomorphic objects are equal […]. Allowing ∞ among the quantities is precisely analogous to including the empty set among abstract sets, and it is done for similar reasons of completeness […].
The non-symmetry is the more serious generalization, and moreover occurs in many naturally arising examples, such as
X
(
a
,
b
)
=
{\displaystyle X(a,b)=}
work required to get from
a
{\displaystyle a}
to
b
{\displaystyle b}
in mountainous region
X
{\displaystyle X}
. […]
첫째 [일반화] [즉, 거리가 0인 서로 다른 두 점이 존재할 수 있음]는 범주론적 관점에서 별로 자연스럽지 않다. 이는 서로 동형 인 대상이 같다는 것에 해당하기 때문이다. […] [거리가] ∞인 것을 허용하는 것은 공집합 을 집합 으로 취급하는 것과 마찬가지로, 완비성에 의하여 필요하다. […] [거리 함수의] 비대칭성은 더 중대한 일반화이며, 다음과 같은 자연스러운 예들이 존재한다. 예를 들어,
X
(
a
,
b
)
=
{\displaystyle X(a,b)=}
산악 지방
X
{\displaystyle X}
에서,
a
{\displaystyle a}
에서
b
{\displaystyle b}
로 가는 데 필요한 에너지라고 하자. […]
”
즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리"
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)}
는 사실 어떤 "상태" 또는 "위치"
x
{\displaystyle x}
에서
y
{\displaystyle y}
로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다.
x
{\displaystyle x}
에서
z
{\displaystyle z}
로 이동하는 데 드는 비용은 이 경로를
x
→
y
→
z
{\displaystyle x\to y\to z}
와 같이 분해했을 때
x
→
y
{\displaystyle x\to y}
비용과
x
→
z
{\displaystyle x\to z}
비용의 합보다 같거나 적다. (예를 들어, 만약
y
{\displaystyle y}
를 거치지 않는 지름길이 있을 경우 부등식이 성립한다.)
상태
x
{\displaystyle x}
에서, 이동하지 않는 데 드는 비용은 0이다. 즉,
d
(
x
,
x
)
=
0
{\displaystyle d(x,x)=0}
이다.
상태
x
{\displaystyle x}
에서
y
{\displaystyle y}
로 꼭 이동할 수 있을 필요는 없다. 만약
x
→
y
{\displaystyle x\to y}
전이가 불가능하다면
d
(
x
,
y
)
=
∞
{\displaystyle d(x,y)=\infty }
이다.
간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’(영어 : extended quasipseudometric space )에서, 각 성분은 고전적 거리 공간 의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다.
확장(擴張, 영어 : extended ): 계량 함수의 값이 ∞일 수 있음을 뜻한다.
준(準, 영어 : quasi- ): 계량 함수가 대칭적이지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉,
d
(
x
,
y
)
≠
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)\neq d(y,x)}
일 수 있다.
유사(類似, 영어 : pseudo- ): 계량 함수가 분리공리 를 만족시키지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉,
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
이지만
d
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle d(x,y)=0}
일 수 있다.
모든 확장 유사 거리 공간 은 로비어 공간이다.
시작 대상과 끝 대상
편집
공집합
∅
{\displaystyle \varnothing }
위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 시작 대상 이다.
한원소 공간
{
∙
}
{\displaystyle \{\bullet \}}
위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량(
d
(
∙
,
∙
)
=
0
{\displaystyle d(\bullet ,\bullet )=0}
)이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 끝 대상 이다.
원순서 집합
편집
임의의 원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 주자.
d
(
x
,
y
)
=
{
0
x
≲
y
∞
x
≴
y
{\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x\lesssim y\\\infty &x\not \lesssim y\end{cases}}}
그렇다면
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
는 로비어 공간을 이룬다.[2] :4, §2
참고 문헌
편집
↑ 가 나 다 라 마 Lowen, Robert (1997). 《Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0 . MR 472024 . Zbl 0891.54001 .
↑ 가 나 다 라 마 바 사 Bonsangue, M. M.; van Breugel, F.; Rutten, J. J. M. M. (1998년 2월 28일). “Generalized metric spaces: completion, topology, and powerdomains via the Yoneda embedding” (PDF) . 《Theoretical Computer Science》 (영어) 193 : 1–51. doi :10.1016/S0304-3975(97)00042-X . 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2017년 1월 26일에 확인함 .
↑ Kopperman, Ralph (1988년 2월). “All topologies come from generalized metrics”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 95 (2): 89–97. doi :10.2307/2323060 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2323060 .
↑ 가 나 Lawvere, F. William (1973). “Metric spaces, generalized logic, and closed categories” (PDF) . 《Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano》 (영어) 43 : 135–166.
외부 링크
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