꼬임 없는 가군

환론에서 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 $r\in R$ 및 $m\in M$에 대하여 "특별한 이유가 없다면" $rm\neq 0$인 가군 $_{R}M$이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(영어: divisible module)은 $r\in R$ 및 $m\in M$에 대하여 "특별한 이유가 없다면" $r^{-1}m$이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 $_{R}M$이다. 꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다.

보다 구체적으로, 임의의 환 $R$ 및 왼쪽 가군 $M$에서, 임의의 $r,s\in R$에 대하여 만약 $rs=0$이라면, 당연히 $r(sM)=0$이다. 따라서, 임의의 $m\in M$에 대하여 $rm\neq 0$일 필요 조건은 $m\not \in sM$인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, $M$을 꼬임 없는 가군이라고 한다.

마찬가지로, 임의의 환 $R$ 및 왼쪽 가군 $M$에서, 임의의 $s,r\in R$에 대하여 $sr=0$이라고 하자. 그렇다면 $s(rM)=0$이므로, 임의의 $m\in M$에 대하여 $r^{-1}m$이 존재할 필요 조건은 $sm=0$인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, $M$을 나눗셈 가군이라고 한다.

정의

환 $R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 나눗셈 왼쪽 가군(영어: divisible left module)이라고 한다.

• 임의의 $r\in R$ 및 $m\in M$에 대하여, $\operatorname {Ann} (_{R}r)m=0$이라면, $m\in rM$이다.^{:§1:70, Definition 3.16}
• 임의의 $r\in R$에 대하여, $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/Rr,M)=0$이다.^{:Proposition 1′}

환 $R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 꼬임 없는 왼쪽 가군(영어: torsion-free left module)이라고 한다.

• 임의의 $r\in R$ 및 $m\in M$에 대하여, $m\not \in \operatorname {Ann} (r_{R})M$이라면, $rm\neq 0$이다.^{:§1:83, §2.8}
• 임의의 $r\in R$에 대하여, $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/rR,M)=0$이다.^{:Proposition 1}
• 임의의 $r\in R$에 대하여, 자연스러운 군 준동형 $rR\otimes _{R}M\to rM$은 아벨 군의 동형이다.^{:83, Proposition 2.8.4}

여기서

$\operatorname {Ann} (_{R}r)=\{s\in R\colon sr=0\}$

$\operatorname {Ann} (r_{R})=\{s\in R\colon rs=0\}$

는 각각 $r$의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며,

$\operatorname {Ann} (r_{R})M=\{s_{1}m_{1}+s_{2}m_{2}+\cdots +s_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;{\vec {s}}\in R^{k},\;{\vec {m}}\in M^{k}\}$

이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다.

성질

모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.^{:Proposition 2:Corollary 3.17′} 이는 왼쪽 가군 $M$이 단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {A}}$에 대하여 $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/{\mathfrak {A}},M)=0$인 것이기 때문이다.^{:Lemma 4.1.11}

환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 폰 노이만 정칙환(영어: von Neumann regular ring) 또는 절대 평탄환(영어: absolutely flat ring)이라고 한다.

• 임의의 $r\in R$에 대하여, $r=rsr$인 $s\in R$가 존재한다.
• 모든 $R$-왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.^{:149, §2}
• 모든 $R$-오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.^{:149, §2}
• 모든 $R$-왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.^{:149, §2}
• 모든 $R$-오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.^{:149, §2}
• 모든 $R$-왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
• 모든 $R$-왼쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
• 모든 주 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r\in R$에 대하여, $Rr=Re$이자 $e^{2}=e$인 $e\in R$가 존재한다.
• 모든 주 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r\in R$에 대하여, $rRr=eR$이자 $e^{2}=e$인 $e\in R$가 존재한다.
• 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\in R$에 대하여, $Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}=Re$이자 $e^{2}=e$인 $e\in R$가 존재한다.
• 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\in R$에 대하여, $Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}=Re$이자 $e^{2}=e$인 $e\in R$가 존재한다.

평탄 가군과의 관계

모든 왼쪽 평탄 가군 $_{R}M$은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.^{:Proposition 2:128, Proposition 4.20} 이는 왼쪽 가군 $M$이 평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}}_{R}$에 대하여 $\operatorname {Tor} _{R}^{1}(R/{\mathfrak {A}},M)=0$인 것이기 때문이다.

꼬임 없는 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:84, Proposition 2.8.5}

• 평탄 왼쪽 가군이다.
• 임의의 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R$에 대하여, ${\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M$이다.
• 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R$에 대하여, ${\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M$이다.

여기서

${\mathfrak {A}}M=\{a_{1}m_{1}+a_{2}m_{2}+\cdots +a_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;{\vec {a}}\in {\mathfrak {A}}^{k},\;{\vec {m}}\in M^{k}\}$

이다.

참고 문헌

• Matlis, Eben (1973년 1월). 《Torsion-free modules》 (영어). The University of Chicago Press. ISBN 978-022651074-3. MR 0344237. 

외부 링크

• “Torsion-free module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Torsion submodule”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.