Tor 함자는 직합 을 보존한다. 즉,
Tor
n
R
(
⨁
i
∈
I
M
i
,
⨁
j
∈
J
N
j
)
=
⨁
i
∈
I
⨁
j
∈
J
Tor
n
R
(
M
i
,
N
j
)
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i},\bigoplus _{j\in J}N_{j}\right)=\bigoplus _{i\in I}\bigoplus _{j\in J}\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M_{i},N_{j})}
이다.
만약
R
{\displaystyle R}
가환환 인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.
Tor
n
R
(
M
,
N
)
≅
Tor
n
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)\cong \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}
또한, 이 경우
Tor
n
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}
R
{\displaystyle R}
가군 의 구조를 갖는다.
만약
R
{\displaystyle R}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
영인자 가 아닐 때, 다음이 성립한다.
Tor
1
R
(
R
/
(
r
)
,
M
)
=
ker
(
r
⋅
)
=
{
m
∈
M
:
r
m
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/(r),M)=\ker(r\cdot )=\{m\in M\colon rm=0\}}
체
K
{\displaystyle K}
가군 의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간 이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군 이다. 즉, 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
0
→
P
0
=
V
→
V
→
0
{\displaystyle 0\to P_{0}=V\to V\to 0}
따라서,
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
Tor
0
K
(
V
,
W
)
=
V
⊗
K
W
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{K}(V,W)=V\otimes _{K}W}
Tor
n
K
(
V
,
W
)
=
0
∀
n
>
0
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{K}(V,W)=0\qquad \forall n>0}
정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
아벨 군 이며, 사영 가군 은 자유 아벨 군 이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군
G
{\displaystyle G}
자유 아벨 군
P
0
{\displaystyle P_{0}}
몫군
P
0
/
P
1
{\displaystyle P_{0}/P_{1}}
자유 아벨 군 의 모든 부분군 은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.
0
→
G
→
P
0
→
P
1
→
0
{\displaystyle 0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0}
아벨 군
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
0
→
P
1
→
ι
P
0
→
G
→
0
{\displaystyle 0\to P^{1}{\xrightarrow {\iota }}P_{0}\to G\to 0}
이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체 의 호몰로지 군 이다.
0
→
P
1
⊗
Z
H
→
ι
⊗
Z
id
P
0
⊗
Z
H
→
0
{\displaystyle 0\to P_{1}\otimes _{\mathbb {Z} }H{\xrightarrow {\iota \otimes _{\mathbb {Z} }\operatorname {id} }}P_{0}\otimes _{\mathbb {Z} }H\to 0}
따라서,
Tor
0
Z
(
G
,
H
)
≅
G
⊗
Z
H
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{\mathbb {Z} }(G,H)\cong G\otimes _{\mathbb {Z} }H}
이며,
Tor
1
Z
(
G
,
H
)
≅
ker
(
ι
⊗
Z
id
)
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(G,H)\cong \ker(\iota \otimes _{\mathbb {Z} }\operatorname {id} )}
이다. 특히,
Tor
1
Z
(
Z
,
H
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,H)=0}
Tor
1
Z
(
0
,
H
)
=
H
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(0,H)=H}
Tor
1
Z
(
Z
/
(
n
)
,
H
)
=
Tors
n
(
H
)
=
{
h
∈
H
:
n
h
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /(n),H)=\operatorname {Tors} _{n}(H)=\{h\in H\colon nh=0\}}
이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합 을 보존하므로,
Tor
1
Z
(
⨁
i
Z
/
(
n
i
)
,
H
)
=
⨁
i
Tors
n
i
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }\left(\bigoplus _{i}\mathbb {Z} /(n_{i}),H\right)=\bigoplus _{i}\operatorname {Tors} _{n_{i}}(H)}
가 된다. 또한,
Tor
1
Z
(
Q
/
Z
,
H
)
=
Tors
(
H
)
=
{
h
∈
H
:
∃
n
∈
Z
+
:
n
h
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,H)=\operatorname {Tors} (H)=\{h\in H\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon nh=0\}}
이므로
H
{\displaystyle H}
꼬임 부분군 이 된다.
Tor
0
Z
(
G
,
H
)
=
G
⊗
H
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{\mathbb {Z} }(G,H)=G\otimes H}
G
∖
H
{\displaystyle G\backslash H}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Z
/
(
m
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}
Z
/
(
m
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}
Z
/
(
gcd
{
m
,
n
}
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})}
0
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
0
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Tor
1
Z
(
G
,
H
)
{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(G,H)}
G
∖
H
{\displaystyle G\backslash H}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
0
0
0
Z
/
(
m
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}
0
Z
/
(
gcd
{
m
,
n
}
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})}
0
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
0
0
0
리 대수 호몰로지 는 리 대수 의 보편 포락 대수 의 Tor 함자와 같다.
이 부분의 본문은 리 대수 호몰로지입니다.