Tor 함자

호몰로지 대수학에서, Tor 함자(Tor函子, 영어: Tor functor)는 가군 텐서곱 함자유도 함자다.

정의편집

 이 (단위원을 가진) 이고,   에 대한 왼쪽 가군들의 범주,   에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다.

오른쪽 가군  와 왼쪽 가군  텐서곱을 취하여 아벨 군  를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산  쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서  아벨 군들의 범주다.

 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자  를 취할 수 있다. 마찬가지로,   또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자  를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

 

이다. 이 쌍함자  Tor 함자라고 한다.

성질편집

Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉,

 

이다.

만약  가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

 

또한, 이 경우    위의 가군의 구조를 갖는다.

만약  가 가환환이며,  영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다.

 

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벡터 공간편집

  위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간  의 사영 분해는 자명하다.

 

따라서,   위의 벡터 공간  ,  가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.

 
 

아벨 군편집

정수환   위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군  자유 아벨 군  몫군  으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

 

아벨 군  ,  가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.  의 사영 분해가

 

이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체호몰로지 군이다.

 

따라서,

 

이며,

 

이다. 특히,

 
 
 

이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로,

 

가 된다. 또한,

 

이므로  꼬임 부분군이 된다.

 
       
       
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리 대수 호몰로지편집

리 대수 호몰로지리 대수보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.

어원편집

‘Tor’는 영어: torsion 토전[*](꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

외부 링크편집