남 변환
미분기하학과 이론물리학에서 남 변환(Nahm變換, 영어: Nahm transform)은 기본적으로 4차원 원환면 위에 정의된 양-밀스 순간자를 그 쌍대 원환면 위의 양-밀스 순간자 위에 대응시키는 변환이다.[1]
정의
편집4차원 원환면 및 그 쌍대 원환면 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 임의의 점 에 대하여, 위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발 위의 평탄 접속
을 정의할 수 있다. 마찬가지로, 의 임의의 점 에 대하여, 위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발 위의 평탄 접속
을 정의할 수 있다.
이제, 다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 남 변환은 를 위의 복소수 벡터 다발 및 그 속의 양-밀스 순간자 에 대응시킨다.
구체적으로, 각 에 대하여, 위의 차원 차원 복소수 벡터 다발 위의 접속
을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이에 대응되는 디랙 연산자
를 정의할 수 있다. 임의의 에 대하여 그 핵은 항상 0차원이며, 따라서 그 여핵은 위의 복소수 벡터 다발을 이룬다.
복소수 힐베르트 공간 를 올로 하는 자명한 힐베르트 다발 을 생각하자. 그렇다면, 정의에 따라 자연스러운 사영 사상
이 존재하며, 따라서 를 의 부분 벡터 다발로 간주할 수 있다.
이에 따라서, 자명 벡터 다발 위의 자명한 접속으로부터 위의 자명한 접속을 유도할 수 있다. 이를 로 정의한다.
성질
편집남 변환은 위의, 순간자수 n의 SU(k) 양-밀스 순간자를 위의, 순간자수 k의 SU(n) 양-밀스 순간자에 대응시킨다. 이 변환은 또한 전단사 함수이며, 대합이다. 즉, 남 변환을 두 번 가하면, 원래 양-밀스 순간자를 얻는다.
응용
편집남 변환은 초끈 이론으로 해석할 수 있다.[2] 구체적으로, 4차원 원환면 위에 감은 개의 D(4+p)-막을 생각하자. 그 위의 초대칭 게이지 이론 속에, 개의 양-밀스 순간자가 존재한다고 하자. 순간자는 D(4+p)-막 속에 녹은 Dp-막으로 해석할 수 있다. 이제, 4차원 원환면을 따라 T-이중성을 가하자. 그렇다면, k개의 D(4+p)-막들은 Dp-막이 되며, 반대로 n개의 Dp-막들은 D(4+p)-막이 된다. 이는 남 변환과 같다.
역사
편집베르너 남(독일어: Werner Nahm)의 이름을 땄다.
각주
편집- ↑ Jardim, Marcos (2004년 11월). “A survey on the Nahm transform”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 52 (3): 313–332. arXiv:math/0309305. Bibcode:2004JGP....52..313J. doi:10.1016/j.geomphys.2004.03.006.
- ↑ Hori, Kentaro (1999). “D-branes, T-duality, and index theory”. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 3: 281–342. arXiv:hep-th/9902102.
외부 링크
편집- “Nahm transform”. 《nLab》 (영어).