4차원 원환면
M
=
R
4
/
Λ
{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}/\Lambda }
원환면
M
~
=
R
4
/
Λ
∗
{\displaystyle {\tilde {M}}=\mathbb {R} ^{4}/\Lambda ^{*}}
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
m
~
∈
M
~
{\displaystyle {\tilde {m}}\in {\tilde {M}}}
M
{\displaystyle M}
복소수 벡터 다발
T
M
⊗
C
{\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} }
(
∂
+
i
B
(
m
~
)
)
μ
=
∂
μ
+
i
m
~
μ
{\displaystyle (\partial +\mathrm {i} B^{({\tilde {m}})})_{\mu }=\partial _{\mu }+\mathrm {i} {\tilde {m}}_{\mu }}
을 정의할 수 있다. 마찬가지로,
M
{\displaystyle M}
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
복소수 벡터 다발
T
M
~
⊗
C
{\displaystyle \mathrm {T} {\tilde {M}}\otimes \mathbb {C} }
(
∂
+
i
B
~
(
m
)
)
μ
=
∂
μ
+
i
m
μ
{\displaystyle (\partial +\mathrm {i} {\tilde {B}}^{(m)})^{\mu }=\partial ^{\mu }+\mathrm {i} m^{\mu }}
을 정의할 수 있다.
이제, 다음이 주어졌다고 하자.
M
{\displaystyle M}
k
{\displaystyle k}
복소수 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
E
{\displaystyle E}
A
{\displaystyle A}
곡률 은 반(半) 자기 쌍대이므로, 이는
SU
(
k
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (k)}
양-밀스 순간자 를 이룬다.그렇다면, 남 변환 은
(
E
,
A
)
{\displaystyle (E,A)}
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
복소수 벡터 다발
E
~
↠
M
{\displaystyle {\tilde {E}}\twoheadrightarrow M}
양-밀스 순간자
A
~
{\displaystyle {\tilde {A}}}
구체적으로, 각
m
~
∈
M
~
{\displaystyle {\tilde {m}}\in {\tilde {M}}}
M
{\displaystyle M}
4
k
{\displaystyle 4k}
복소수 벡터 다발
E
⊗
M
T
M
↠
M
{\displaystyle E\otimes _{M}\mathrm {T} M\twoheadrightarrow M}
A
⊗
1
+
1
⊗
B
(
m
~
)
{\displaystyle A\otimes 1+1\otimes B^{({\tilde {m}})}}
을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이에 대응되는 디랙 연산자
D
(
m
~
)
:
Γ
(
E
⊗
T
M
⊗
S
+
)
→
Γ
(
E
⊗
T
M
⊗
S
−
)
{\displaystyle D^{({\tilde {m}})}\colon \Gamma (E\otimes \mathrm {T} M\otimes S^{+})\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} M\otimes S^{-})}
를 정의할 수 있다. 임의의
m
~
∈
M
~
{\displaystyle {\tilde {m}}\in {\tilde {M}}}
핵 은 항상 0차원이며, 따라서 그 여핵 은
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
복소수 벡터 다발 을 이룬다.
E
~
m
~
=
coker
D
(
m
~
)
{\displaystyle {\tilde {E}}_{\tilde {m}}=\operatorname {coker} D^{({\tilde {m}})}}
복소수 힐베르트 공간
L
2
(
E
⊗
M
⊗
S
−
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(E\otimes M\otimes S^{-})}
힐베르트 다발
H
↠
M
~
{\displaystyle {\mathcal {H}}\twoheadrightarrow {\tilde {M}}}
q
:
H
↠
E
~
{\displaystyle q\colon {\mathcal {H}}\twoheadrightarrow {\tilde {E}}}
이 존재하며, 따라서
E
~
{\displaystyle {\tilde {E}}}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
E
~
≅
(
ker
q
)
⊥
{\displaystyle {\tilde {E}}\cong (\ker q)^{\perp }}
이에 따라서, 자명 벡터 다발
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
E
~
{\displaystyle {\tilde {E}}}
A
~
{\displaystyle {\tilde {A}}}
남 변환은
M
{\displaystyle M}
n 의 SU(k ) 양-밀스 순간자 를
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
k 의 SU(n ) 양-밀스 순간자 에 대응시킨다. 이 변환은 또한 전단사 함수 이며, 대합 이다. 즉, 남 변환을 두 번 가하면, 원래 양-밀스 순간자 를 얻는다.
베르너 남(독일어 : Werner Nahm )의 이름을 땄다.
참고 문헌
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외부 링크
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