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정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 리만 다양체  
  • 매끄러운 벡터 다발  
  •   위의 코쥘 접속  
  •  매끄러운 단면  . (흔히  으로 잡는다.)

그렇다면, 라플라스 연산자

 

및 일반화 라플라스 연산자

 

를 정의할 수 있다.

이 경우, 디랙 연산자

 

 

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac形演算子, 영어: Dirac-type operator) 또는 일반화 디랙 연산자(영어: generalized Dirac operator)

 

는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,

 

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

등급 디랙 연산자편집

클리퍼드 대수는 자연스럽게  -등급 대수를 이룬다.

 

이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.[1]:116, Definition 3.36

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 리만 다양체  
  • 매끄러운 벡터 다발  . 편의상  로 표기하자.
  •   위의 초접속  
  •  매끄러운 단면   (복부호 동순)

그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자

 

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 등급 디랙 연산자(영어: graded Dirac operator)

  (복부호 동순)

 
 

를 만족시키는 두 미분 연산자이다.

분류편집

클리퍼드 가군 다발 접속편집

리만 다양체   위의 클리퍼드 가군 다발   위의 코쥘 접속  가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속이라고 하자.

 

여기서  클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.

마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는,  -등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.

디랙 연산자의 분류편집

리만 다양체   위의 매끄러운 벡터 다발   위에 디랙 연산자  가 주어졌을 때,   위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발  의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올  클리퍼드 대수  왼쪽 가군을 이룬다.[1]:116, Proposition 3.38 구체적으로, 이는 다음과 같다.

 

여기서

  •    위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
  •  은 그 기울기1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상  이 존재한다.
  •  클리퍼드 대수의 원소의 작용이다.

클리퍼드 다발  매끄러운 단면벡터장  으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라,  는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,

  • 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
  • 주어진 클리퍼드 가군 다발   + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은   꼴의 아핀 공간이다.
  • 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군  -등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
  • 주어진 클리퍼드 가군 다발  -등급 다발   + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은   꼴의 아핀 공간이다.

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곡선 위의 벡터다발편집

계량이 주어진 곡선   위의 다발  의 경우, 디랙 연산자는 단순히

 

이다.

접다발편집

리만 다양체   위의 접다발  에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약  스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발

 

으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다.   차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발   위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장

 
 

이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는

 

이다. 즉,

 

이다.

만약  이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

 

이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.

  (복부호 동순)

따라서, 이는   위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

호지-드람 연산자편집

매끄러운 다양체   위의 미분 형식의 다발

 

을 생각하자. 즉,

 

이다. 만약  이 콤팩트 다양체라면, 외미분

 

에르미트 수반

 

을 정의할 수 있다. 그렇다면,

 

이 된다. 여기서  는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서

 

를 정의하면,    위의 디랙 연산자를 이룬다.

역사편집

최초의 디랙 연산자는 폴 디랙양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.

참고 문헌편집

  1. Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag. 
  2. Friedrich, Thomas (1997Mathematics). 《Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie》. Advanced Lectures in Mathematics (독일어) 25. Vieweg-Verlag. ISBN 978-3-528-06926-1. ISSN 0932-7134. 
  3. Esposito, Giampiero (1995). “Dirac operator and eigenvalues in Riemannian geometry” (영어). Bibcode:1995gr.qc.....7046E. arXiv:gr-qc/9507046. 

관련 항목편집

외부 링크편집