다음이 주어졌다고 하자.
2
n
{\displaystyle 2n}
차원 유향 콤팩트 리만 다양체
(
M
,
g
,
ω
)
{\displaystyle (M,g,\omega )}
M
{\displaystyle M}
위의 임의의 매끄러운 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
및 그 위의 양의 정부호 내적
⟨
−
,
−
⟩
{\displaystyle \langle -,-\rangle }
그렇다면, 벡터 값 미분 형식 의 공간
Ω
∙
(
M
;
E
)
{\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)}
를 정의할 수 있으며, 그 호지 쌍대
∗
:
Ω
∙
(
M
;
E
)
→
Ω
2
n
−
∙
(
M
;
E
)
{\displaystyle *\colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{2n-\bullet }(M;E)}
α
∧
∗
β
=
⟨
α
,
β
⟩
ω
{\displaystyle \alpha \wedge *\beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \omega }
를 정의할 수 있다. 물론,
k
{\displaystyle k}
차 미분 형식 에 대하여
∗
2
=
(
−
)
k
(
2
n
−
k
)
{\displaystyle *^{2}=(-)^{k(2n-k)}}
이다.
특히, 가운데 차수 (
n
{\displaystyle n}
차) 미분 형식 에 대하여, 호지 쌍대 는 자기 사상 을 이루며, 이 경우
∗
2
=
(
−
)
n
2
{\displaystyle *^{2}=(-)^{n^{2}}}
이다. 만약
n
{\displaystyle n}
이 짝수일 경우,
∗
↾
Ω
n
(
M
;
E
)
{\displaystyle *\upharpoonright \Omega ^{n}(M;E)}
의 고윳값 은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식 의 공간을 호지 쌍대 의 고유 공간 에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다.
Ω
n
(
M
;
E
)
=
Ω
n
,
+
(
M
;
E
)
⊕
Ω
n
,
−
(
M
;
E
)
{\displaystyle \Omega ^{n}(M;E)=\Omega ^{n,+}(M;E)\oplus \Omega ^{n,-}(M;E)}
여기서
Ω
n
,
+
(
M
)
{\displaystyle \Omega ^{n,+}(M)}
의 원소는 자기 쌍대 미분 형식 (영어 : self-dual differential form ),
Ω
−
2
(
M
)
{\displaystyle \Omega _{-}^{2}(M)}
의 원소는 반 자기 쌍대 미분 형식 (영어 : anti-self-dual differential form )라고 한다. 이에 대한 사영 사상을
proj
±
:
Ω
n
(
M
;
E
)
→
Ω
n
,
+
(
M
;
E
)
{\displaystyle \operatorname {proj} ^{\pm }\colon \Omega ^{n}(M;E)\to \Omega ^{n,+}(M;E)}
라고 표기하자.
(만약
n
{\displaystyle n}
이 홀수라면,
∗
{\displaystyle *}
의 고윳값은
±
i
{\displaystyle \pm \mathrm {i} }
가 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.)
다양체
M
{\displaystyle M}
의 방향 을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다.
다음이 주어졌다고 하자.
4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
콤팩트 리 군
G
{\displaystyle G}
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}
위의 양의 정부호 2차 불변 다항식
K
(
−
,
−
)
{\displaystyle K(-,-)}
G
{\displaystyle G}
-매끄러운 주다발
G
↪
P
↠
M
{\displaystyle G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}
그렇다면,
P
{\displaystyle P}
의 천-베유 준동형
CW
P
:
C
[
l
i
e
(
G
)
]
G
→
H
∙
(
M
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {CW} _{P}\colon \mathbb {C} [{\mathfrak {lie}}(G)]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
을 정의할 수 있으며,
K
(
−
,
−
)
{\displaystyle K(-,-)}
의 천-베유 준동형 아래의 상
CW
P
(
K
)
∈
H
4
(
M
;
C
)
≅
C
{\displaystyle \operatorname {CW} _{P}(K)\in \operatorname {H} ^{4}(M;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} }
를 정의할 수 있다. 이는 천 특성류 로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
에 대하여
CW
P
(
K
)
∈
λ
Z
⊊
C
{\displaystyle \operatorname {CW} _{P}(K)\in \lambda \mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {C} }
의 꼴이다. 이 경우,
λ
−
1
CW
P
(
K
)
∈
Z
{\displaystyle \lambda ^{-1}\operatorname {CW} _{P}(K)\in \mathbb {Z} }
를 주다발
P
{\displaystyle P}
의 순간자수 (영어 : instanton number )라고 한다. (이는
λ
↦
−
λ
{\displaystyle \lambda \mapsto -\lambda }
아래 부호의 모호성을 가진다.)
만약
M
=
S
4
{\displaystyle M=\mathbb {S} ^{4}}
(4차원 초구)이며,
G
{\displaystyle G}
가 콤팩트 단순 리 군 이라면,
S
4
{\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}
위의
G
{\displaystyle G}
-주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다.
다음이 주어졌다고 하자.
4차원 유향 콤팩트 리만 다양체
(
M
,
g
,
ω
)
{\displaystyle (M,g,\omega )}
콤팩트 리 군
G
{\displaystyle G}
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}
위의 양의 정부호 2차 불변 다항식
K
(
−
,
−
)
{\displaystyle K(-,-)}
G
{\displaystyle G}
-매끄러운 주다발
P
↠
M
{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}
그렇다면,
P
{\displaystyle P}
의 주접속 들을 생각하자. 연관 벡터 다발
ad
(
P
)
=
P
×
G
ad
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}\operatorname {ad} (G)}
을 정의하면, 주접속 모듈라이 공간 은
Ω
1
(
M
;
ad
(
P
)
)
{\displaystyle \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}
에 대한 아핀 공간 이다. (
ad
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {ad} (G)}
는
G
{\displaystyle G}
의 딸림표현 이다.) 주접속
A
{\displaystyle A}
로부터, 주곡률
F
∈
Ω
2
(
M
;
ad
(
G
)
)
{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (G))}
을 정의할 수 있다.
K
(
−
,
−
)
{\displaystyle K(-,-)}
가 양의 정부호 2차 불변 다항식 이므로, 이는
ad
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {ad} (G)}
위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대 를 정의할 수 있다.
주접속 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 반 자기 쌍대 주접속 (영어 : anti-self-dual connection ) 또는 양-밀스 순간자 (영어 : Yang–Mills instanton )라고 한다.
이 경우, 게이지 변환 에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 게이지 변환군 은
G
=
C
∞
(
M
,
G
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}
이다. 이 대신,
M
{\displaystyle M}
에 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간
(
M
,
∙
)
{\displaystyle (M,\bullet )}
을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군
G
0
=
C
∙
∞
(
(
M
,
∙
)
,
(
G
,
1
G
)
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}={\mathcal {C}}_{\bullet }^{\infty }((M,\bullet ),(G,1_{G}))}
을 생각할 수 있다. 이는 짧은 완전열
1
→
G
0
→
G
→
G
→
1
{\displaystyle 1\to {\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}\to G\to 1}
을 이룬다.
G
0
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}
에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 동치류 를 틀 갖춘 순간자 (영어 : framed instanton )이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
, 틀 갖춘 순간자의 모듈라이 공간 을
M
~
{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}
이라고 하면, 이는
G
{\displaystyle G}
-주다발
G
↪
M
~
↠
M
{\displaystyle G\hookrightarrow {\tilde {\mathcal {M}}}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}}
을 이룬다.
반 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간
M
ASD
(
M
,
G
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)}
의 접공간 은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 우선, 반 자기 쌍대 주접속
[
A
]
∈
M
ASD
(
M
,
G
)
{\displaystyle [A]\in {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)}
이 주어졌을 때, 다음과 같은 짧은 완전열 을 정의할 수 있으며, 이를 순간자 변형 복합체 (瞬間子變形複合體, 영어 : instanton deformation complex )라고 한다.
0
→
Ω
0
(
M
;
ad
(
P
)
)
→
∇
A
Ω
1
(
M
;
ad
(
P
)
)
→
proj
+
∇
A
Ω
2
,
+
(
M
;
ad
(
P
)
)
→
0
{\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))\,{\xrightarrow {\nabla _{A}}}\,\Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))\,{\xrightarrow {\operatorname {proj} ^{+}\nabla _{A}}}\,\Omega ^{2,+}(M;\operatorname {ad} (P))\to 0}
여기서
Ω
2
,
+
(
M
;
ad
(
P
)
)
{\displaystyle \Omega ^{2,+}(M;\operatorname {ad} (P))}
는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된,
Ω
2
(
M
;
ad
(
P
)
)
{\displaystyle \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}
의 부분 실수 벡터 공간 이다.
proj
+
:
Ω
2
(
ad
(
P
)
)
→
Ω
2
,
+
(
ad
(
P
)
)
{\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}\colon \Omega ^{2}(\operatorname {ad} (P))\to \Omega ^{2,+}(\operatorname {ad} (P))}
는 자기 쌍대 2차 미분 형식 에 대한 사영이다.
∇
A
:
Ω
∙
(
M
;
ad
(
P
)
)
→
Ω
∙
+
1
(
M
;
ad
(
P
)
)
{\displaystyle \nabla _{A}\colon \Omega ^{\bullet }(M;\operatorname {ad} (P))\to \Omega ^{\bullet +1}(M;\operatorname {ad} (P))}
는
A
{\displaystyle A}
에 대한 공변 미분이다.
순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 군
H
1
=
ker
(
proj
+
∘
∇
A
)
im
∇
A
{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}={\frac {\ker(\operatorname {proj} ^{+}\circ \nabla _{A})}{\operatorname {im} \nabla _{A}}}}
은
M
ASD
(
M
,
G
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)}
의,
A
∈
M
ASD
(
M
,
G
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(M,G)}
에서의 접공간 과 표준적으로 동형이다. 그 해석은 다음과 같다. 임의의
X
∈
Ω
1
(
M
;
ad
(
P
)
)
{\displaystyle X\in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}
에 대하여,
proj
+
(
∇
A
X
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {proj} ^{+}(\nabla _{A}X)=0}
조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다.
∄
ϕ
∈
Ω
0
(
M
;
ad
(
P
)
)
:
∇
A
ϕ
=
X
{\displaystyle \nexists \phi \in \Omega ^{0}(M;\operatorname {ad} (P))\colon \nabla _{A}\phi =X}
조건은 게이지 변환군 의 작용에 대한 몫을 취한 것이다.
순간자 변형 복합체의 오일러 지표
ind
=
−
dim
H
0
+
dim
H
1
−
dim
H
2
{\displaystyle \operatorname {ind} =-\dim \operatorname {H} ^{0}+\dim \operatorname {H} ^{1}-\dim \operatorname {H} ^{2}}
를 모듈라이 공간의 가상 차원 (假想次元, 영어 : virtual dimension )이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리 를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계 를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다.
주다발
P
{\displaystyle P}
에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다.
ind
=
4
h
∨
(
G
)
|
k
|
≤
dim
M
~
{\displaystyle \operatorname {ind} =4h^{\vee }(G)|k|\leq \dim {\tilde {\mathcal {M}}}}
여기서
k
{\displaystyle k}
는 순간자수이며,
h
∨
(
G
)
{\displaystyle h^{\vee }(G)}
는
G
{\displaystyle G}
의 이중 콕서터 수 이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다
|
G
|
{\displaystyle |G|}
만큼 작다.
4
h
∨
(
G
)
|
k
|
−
dim
G
≤
dim
M
{\displaystyle 4h^{\vee }(G)|k|-\dim G\leq \dim {\mathcal {M}}}
양-밀스 순간자의 모듈라이 공간
M
ASD
(
P
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ASD}}(P)}
를 생각하자. 그 위에는
M
{\displaystyle M}
의 리만 계량 및
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}
위의 2차 불변 다항식 으로 유도되는 리만 계량 이 존재한다.
만약
M
{\displaystyle M}
이 4차원 유클리드 공간 의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간
M
ADS
(
P
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{ADS}}(P)}
는 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체 를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다.
4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이
G
{\displaystyle G}
일 경우, 1차 및 2차 베티 수 가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.[3] [4] :§2
dim
M
~
(
k
,
G
)
=
4
|
k
|
h
∨
(
G
)
{\displaystyle \dim {\tilde {\mathcal {M}}}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)}
dim
M
(
k
,
G
)
=
4
|
k
|
h
∨
(
G
)
−
dim
G
{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)-\dim G}
모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
은
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면,
4
|
k
|
h
∨
(
G
)
−
4
{\displaystyle 4|k|h^{\vee }(G)-4}
차원의 초켈러 다양체 를 얻는다.
4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 초구 )
S
4
{\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}
위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
게이지 이론의 힉스 가지(영어 : Higgs branch )로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 ADHM 작도 라고 한다.[5] [6] 마이클 아티야 , 블라디미르 드린펠트 , 나이절 히친 , 유리 마닌 이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.[7]
(반) 자기 쌍대 주접속은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 (영어 : Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound , BPS 부등식)을 충족시킨다.[8] [9]
M
{\displaystyle M}
위의 부피 형식
ω
{\displaystyle \omega }
가 리만 계량 에 의하여 주어지며, 또한
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}
위에 양의 정부호 쌍선형 형식 을 이루는 2차 불변 다항식
K
(
−
,
−
)
{\displaystyle K(-,-)}
이 주어졌다고 하자. (반단순 리 대수 의 경우, 이는 킬링 형식 에 비례한다.) 이 경우,
Ω
2
(
M
;
ad
(
P
)
)
{\displaystyle \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}
위에 자연스러운 양의 정부호 내적
⟨
B
,
C
⟩
=
∫
M
K
(
B
∧
∗
C
)
{\displaystyle \langle B,C\rangle =\int _{M}K(B\wedge *C)}
이 주어진다. 이 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식 의 공간과 반 자기 쌍대 2차 미분 형식 의 공간은 서로 수직이다.
이에 대한 주곡률의 노름
⟨
F
,
F
⟩
{\displaystyle \langle F,F\rangle }
을 주접속의 양-밀스 작용 (영어 : Yang–Mills action )이라고 하며, 이는 양-밀스 이론 의 작용 이다. 임의의 주곡률
F
∈
Ω
2
(
M
;
ad
(
P
)
)
{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}
의 (반) 자기 쌍대 성분을
F
±
{\displaystyle F^{\pm }}
이라고 하자 (
F
=
F
+
+
F
−
{\displaystyle F=F^{+}+F^{-}}
,
∗
F
=
F
+
−
F
−
{\displaystyle *F=F^{+}-F^{-}}
). 그렇다면
⟨
F
,
F
⟩
=
⟨
F
+
,
F
+
⟩
+
⟨
F
−
,
F
−
⟩
≥
|
⟨
F
+
,
F
+
⟩
−
⟨
F
−
,
F
−
⟩
|
=
⟨
F
,
∗
F
⟩
=
|
∫
M
K
(
F
∧
F
)
|
{\displaystyle \langle F,F\rangle =\langle F_{+},F_{+}\rangle +\langle F_{-},F_{-}\rangle \geq |\langle F_{+},F_{+}\rangle -\langle F_{-},F_{-}\rangle |=\langle F,*F\rangle =\left|\int _{M}K(F\wedge F)\right|}
이다. 우변은
F
{\displaystyle F}
의 (어떤 충실한 표현 에 대한 연관 벡터 다발 의) 2차 천 특성류 (의 절댓값 )에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 천 특성류 의 절댓값 에 의하여 하계 를 갖는다. 이를 주접속 의 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 이라고 한다.
(반) 자기 쌍대 접속의 경우,
F
+
{\displaystyle F^{+}}
또는
F
−
{\displaystyle F^{-}}
가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다.
4차원 유클리드 공간
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
위의, 게이지 군
G
{\displaystyle G}
의 양-밀스 순간자를 생각하자.
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
의 콤팩트화
S
4
{\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}
는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다.
dim
M
(
G
,
k
)
=
4
h
∨
(
G
)
|
k
|
{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}(G,k)=4h^{\vee }(G)|k|}
예를 들어,
G
=
SU
(
N
)
{\displaystyle G=\operatorname {SU} (N)}
인 경우 이중 콕서터 수 는
h
∨
=
N
{\displaystyle h^{\vee }=N}
이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은
4
N
|
k
|
{\displaystyle 4N|k|}
이다.[5] :9–12 하나의 순간자(
k
=
1
{\displaystyle k=1}
)인 경우, 이는 다음과 같다.
4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동(영어 : translation ) 자유도 가 있다.
4차원 순수 양-밀스 이론 (또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론 )은 등각 장론 이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환(영어 : dilatation ) 자유도가 있다.
SU
(
2
)
≅
S
3
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong S^{3}}
이므로, 원점에서 무한히 떨어진
S
3
{\displaystyle S^{3}}
에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2) 를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다.
SU
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (N)}
에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 잉여류 공간
SU
(
N
)
(
U
(
2
)
×
U
(
N
−
2
)
)
/
U
(
1
)
=
U
(
N
)
U
(
2
)
×
U
(
N
−
2
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {SU} (N)}{(\operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (N-2))/\operatorname {U} (1)}}={\frac {\operatorname {U} (N)}{\operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (N-2)}}}
이고, 그 차원은
N
2
−
4
−
(
N
−
2
)
2
=
4
N
−
8
{\displaystyle N^{2}-4-(N-2)^{2}=4N-8}
이다.
따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은
4
+
1
+
3
+
4
N
−
8
=
4
N
{\displaystyle 4+1+3+4N-8=4N}
이다. 만약 순간자수가
k
{\displaystyle k}
라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이
4
k
N
{\displaystyle 4kN}
이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다.
하나의 순간자의 모듈라이 공간은
R
4
×
R
4
/
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{4}/\operatorname {Cyc} (2)}
이다.[5] :1.25 이 경우, 오비폴드 의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다.
이 부분의 본문은
칼로론 입니다.
R
3
×
S
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}}
위의 양-밀스 순간자는 칼로론 이라고 하며, 잘 알려져 있다.
점근 국소 유클리드 공간 [10] 과 토브-너트 공간 [11] [12] 의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다.
토브-너트 공간 위의 SU(2) 순간자 모듈라이 공간 을 나타내는 활 도형
토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬
diag
(
exp
(
2
π
λ
/
l
)
,
exp
(
−
2
π
λ
/
l
)
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (\exp(2\pi \lambda /l),\exp(-2\pi \lambda /l))}
을 갖는)
k
{\displaystyle k}
개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소
T
G
L
(
k
;
C
)
×
H
k
×
TGL
(
k
;
C
)
×
H
k
×
TGL
(
k
;
C
)
×
H
k
2
U
(
k
)
×
U
(
k
)
×
U
(
k
)
×
U
(
k
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k}\times \operatorname {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k}\times \operatorname {TGL} (k;\mathbb {C} )\times \mathbb {H} ^{k^{2}}}{\operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)\times \operatorname {U} (k)}}}
로 주어진다.[11] :(11), §4 이는 활 도형 (영어 : bow diagram )으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은
dim
M
l
,
λ
,
k
=
4
(
k
2
+
k
+
k
2
+
k
+
k
2
+
k
2
−
k
2
−
k
2
−
k
2
−
k
2
)
=
8
k
{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{l,\lambda ,k}=4\left(k^{2}+k+k^{2}+k+k^{2}+k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}-k^{2}\right)=8k}
이다.
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