단사 함수

수학에서 단사 함수(單射函數, 영어: injection; injective function) 또는 일대일 함수(一對一函數, 영어: one-to-one function)는 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수이다. 공역의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 상이다.

단사 함수의 예

단사 함수가 아닌 예 (이는 전사 함수이기는 하다).

정의

두 집합 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 단사 함수라고 한다.

• 임의의 $x,x'\in X$에 대하여, 만약 $f(x)=f(x')$이라면, $x=x'$이다.
• 임의의 $x,x'\in X$에 대하여, 만약 $x\neq x'$이라면, $f(x)\neq f(x')$이다.
• $f$를 그 치역 $f(X)$에 국한시킨다면, $f$는 정의역 $X$와 치역 $f(X)$ 사이의 전단사 함수를 정의한다.
• $f$는 집합의 범주에서의 단사 사상이다. 즉, 임의의 집합 $Z$ 및 함수 $g_{1},g_{2}\colon Z\to X$에 대하여, 만약 $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$라면 $g_{1}=g_{2}$이다.
• $f$는 집합의 범주에서의 분할 단사 사상이다. 즉, $g\circ f$가 $X$ 위의 항등 함수를 이루는 함수 $g\colon Y\to X$가 존재한다.

성질

임의의 함수 $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$가 주어졌다고 하자.

• 만약 $f$와 $g$가 둘 다 단사 함수라면, $g\circ f$ 역시 단사 함수이다.
• 만약 $g\circ f$가 단사 함수라면, $f$ 역시 단사 함수이다. 하지만 $g$가 단사 함수일 필요는 없다.

두 집합 $X$, $Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 단사 함수 $f\colon X\to Y$가 존재한다.
• $|X|\leq |Y|$이다. 여기서 $|\cdot |$는 집합의 크기이다.

정의역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.

예

• 항등 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
• 임의의 집합 $X$ 및 그 부분 집합 $Y\subset X$에 대하여, 포함 함수 $Y\to X$는 단사 함수이다.
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=2x+1$로 정의된 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
• $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ g(x)=x^{2}$으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어 $g(1)=1=g(-1)$이다.
  • 그러나, 만약 $g$의 정의역을 음이 아닌 실수 $[0,+\infty )$로 제한한다면 $g$는 단사 함수이다.
• 지수 함수 $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto e^{x}$는 단사함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사 함수가 아니다.)
• 자연 로그 함수 $\ln \colon (0,+\infty )\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln x$는 단사 함수이다.

역사

유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"(영어: injection), "앵젝시옹"(프랑스어: injection) 등은 "이니엑티오"(라틴어: iniectiō)에서 유래하였으며, 이는 "인"(라틴어: in, 안에) + "야키오"(라틴어: iaciō, 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

같이 보기

• 전단사 함수
• 전사 함수
• 단사 사상

참고 문헌

• Halmos, Paul R. (1974). 《Naive set theory》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN 978-0-387-90092-6. ISSN 0172-6056. MR 0453532. Zbl 0287.04001. 

외부 링크

• “Injection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Injection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.