단순 가군

환론에서 단순 가군(單純加群, 영어: simple module)은 그 부분가군이 자신 또는 0밖에 없는 가군이다. 즉, 0이 아닌 원소 하나만으로 생성되는 부분가군이 항상 전체 가군과 같은 경우다.

정의

환 $R$의 오른쪽 가군 $M$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 오른쪽 가군 $M$을 단순 오른쪽 가군(영어: simple right module)이라고 한다.

• $M$은 정확히 두 개의 부분 $R$-가군을 갖는다. (이들은 영가군 $\{0\}$ 및 $M$ 전체이다.)
• $M$의 길이가 1이다.
• $M$은 영가군이 아니며, 임의의 $m\in M\setminus \{0\}$에 대하여 순환 가군(영어: cyclic module) $(m)=M$이다.
• $M\cong R/{\mathfrak {m}}$인 극대 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {m}}\subset R$가 존재한다.

왼쪽 가군에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다.

기약 표현

 이 부분의 본문은 기약 표현입니다.

군 표현은 체를 계수로 하는 군환에 대한 가군이다. 즉, $G$가 군이고, $V$가 체 $k$에 대한 벡터 공간이라면, 표현 $G\to \operatorname {GL} (V)$는 군환 $k[G]$에 대한 가군과 같다. 이 경우, 가군으로서 단순 가군인 군 표현을 기약 표현(irreducible representation)이라고 한다. 즉, 기약표현은 (자신 또는 0차원 표현을 제외한) 부분표현을 가지지 않는 표현이다.

예

영가군은 정의에 따라 단순 가군이 아니다.

단순 $\mathbb {Z}$-가군은 소수 크기의 순환군 $\mathbb {Z} /(p)$이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Irreducible module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 반단순 가군