추상대수학 에서 군환 (群環, 영어 : group ring 그룹링[* ] )은 군 의 원소로 생성되는 자유 가군 이다. 가군과 환 의 구조를 가진다.
집합
G
{\displaystyle G}
환
R
{\displaystyle R}
G
{\displaystyle G}
R
{\displaystyle R}
자유 가군 을 다음과 같이 표기하자.
R
[
G
]
=
{
∑
g
∈
G
r
g
g
r
∈
R
G
,
|
{
g
∈
G
:
r
g
≠
0
}
|
<
ℵ
0
}
}
{\displaystyle R[G]=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}g\qquad r\in R^{G},\;|\{g\in G\colon r_{g}\neq 0\}|<\aleph _{0}\}\right\}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
작은 범주 이며,
R
{\displaystyle R}
환 이라고 하자. 그렇다면,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Mor
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}
R
{\displaystyle R}
자유 가군
R
[
Mor
(
C
)
]
{\displaystyle R[\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})]}
R
{\displaystyle R}
f
⋅
g
=
{
g
∘
f
dom
g
=
codom
f
0
dom
g
≠
codom
f
{\displaystyle f\cdot g={\begin{cases}g\circ f&\operatorname {dom} g=\operatorname {codom} f\\0&\operatorname {dom} g\neq \operatorname {codom} f\end{cases}}}
즉, 다음과 같다.
(
r
1
f
1
+
r
2
f
2
+
⋯
+
r
m
f
m
)
⋅
(
s
1
g
1
+
s
2
g
2
+
⋯
+
s
n
g
n
)
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
r
i
s
j
(
f
i
⋅
g
j
)
(
r
i
,
s
j
∈
R
,
f
i
,
g
j
∈
Mor
(
C
)
)
{\displaystyle (r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\cdots +r_{m}f_{m})\cdot (s_{1}g_{1}+s_{2}g_{2}+\cdots +s_{n}g_{n})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}r_{i}s_{j}(f_{i}\cdot g_{j})\qquad \left(r_{i},s_{j}\in R,\;f_{i},g_{j}\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})\right)}
이 곱셈은 결합 법칙 및 분배 법칙 을 따르며, 항등원
1
R
[
C
]
=
∑
X
∈
Ob
(
C
)
id
X
{\displaystyle 1_{R[{\mathcal {C}}]}=\sum _{X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}\operatorname {id} _{X}}
을 가진다. (만약
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
환 을 이루며, 이를
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
범주환 (영어 : category ring )
R
[
C
]
{\displaystyle R[{\mathcal {C}}]}
특히, 만약
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
모노이드 로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 모노이드 환 (영어 : monoid ring )이라고 한다. 만약 추가로
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
군 이라면, 이 경우 범주환을 군환 이라고 한다.
모노이드
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
(
R
,
R
)
{\displaystyle (R,R)}
쌍가군 의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 자유 가군 이자 오른쪽 자유 가군 이다.
R
{\displaystyle R}
체
k
{\displaystyle k}
k
[
G
]
{\displaystyle k[G]}
벡터 공간 을 이룬다. 이 경우,
k
[
G
]
{\displaystyle k[G]}
|
G
|
{\displaystyle |G|}
G
{\displaystyle G}
Hamel dimension )으로서 성립한다.)
군의 가군
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군
G
{\displaystyle G}
가군 (영어 : G -module정수 계수의 군환
Z
[
G
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [G]}
가군 이다. 이는 군 표현 을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지 에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군
(
M
,
ρ
)
{\displaystyle (M,\rho )}
아벨 군
M
{\displaystyle M}
군의 작용
ρ
:
G
×
M
→
M
{\displaystyle \rho \colon G\times M\to M}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
a
,
b
∈
M
{\displaystyle a,b\in M}
g
(
a
+
b
)
=
g
a
+
g
b
{\displaystyle g(a+b)=ga+gb}
유한군
G
{\displaystyle G}
체
K
{\displaystyle K}
char
K
∤
|
G
|
{\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|}
라고 하자. (즉,
G
{\displaystyle G}
크기 는
K
{\displaystyle K}
표수 를 소인수 로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환
K
[
G
]
{\displaystyle K[G]}
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환 이자 오른쪽 아르틴 환 이다. 마슈케 정리 (영어 : Maschke’s theorem )에 따르면, 군환
K
[
G
]
{\displaystyle K[G]}
반단순환 이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽
K
[
G
]
{\displaystyle K[G]}
반단순 가군 이다.
이는 하인리히 마슈케(영어 : Heinrich Maschke , 1853~1908)가 증명하였다.[1] [2]
다항식환
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자연수 의 덧셈 모노이드
(
N
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}
{
1
,
x
,
x
2
,
x
3
,
…
}
{\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3},\dots \}}
R
{\displaystyle R}
R
[
N
]
{\displaystyle R[\mathbb {N} ]}
다항식환
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
마찬가지로, 무한 순환군
Cyc
(
∞
)
=
{
…
,
x
−
2
,
x
−
1
,
1
,
x
,
x
2
,
…
}
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )=\{\dots ,x^{-2},x^{-1},1,x,x^{2},\dots \}}
R
[
Cyc
(
∞
)
]
≅
R
[
x
,
x
−
1
]
=
R
[
x
,
y
]
/
(
x
y
−
1
)
{\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (\infty )]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)}
마찬가지로, 유한 순환군
Cyc
(
n
)
=
{
1
,
x
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
}
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\{1,x,x^{2},\dots ,x^{n-1}\}}
R
[
Cyc
(
n
)
]
≅
R
[
x
]
/
(
x
n
)
{\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (n)]\cong R[x]/(x^{n})}
집합
S
{\displaystyle S}
순서쌍 준군
Pair
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {Pair} (S)}
준군 이다.
대상은
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
임의의 두 대상
s
,
t
∈
S
{\displaystyle s,t\in S}
(
s
,
t
)
:
s
→
t
{\displaystyle (s,t)\colon s\to t}
순서쌍 으로 구성된 곱집합
S
×
S
{\displaystyle S\times S}
만약
S
{\displaystyle S}
n
{\displaystyle n}
유한 집합 일 때, 임의의 환
R
{\displaystyle R}
R
[
Pair
(
S
)
]
{\displaystyle R[\operatorname {Pair} (S)]}
Mat
(
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}
유한 집합
S
{\displaystyle S}
항등 사상 인 범주) 위의 범주환
R
[
S
]
{\displaystyle R[S]}
S
{\displaystyle S}
R
{\displaystyle R}
R
S
{\displaystyle R^{S}}
참고 문헌
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Passman, D. S. (1976년 3월). “What is a group ring?” (PDF) . 《American Mathematical Monthly》 (영어): 173–185. doi :10.2307/2977018 . JSTOR 2977018 . Zbl 0318.16002 . Gilmer, R. (1984). 《Commutative semigroup rings》 (영어). University of Chicago Press. Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). 《An introduction to group rings》. Algebras and applications (영어) 1 . Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0 Passman, D. S. (1977). 《The algebraic structure of group rings》 (영어). Wiley. 외부 링크
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![{\displaystyle R[G]=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}g\qquad r\in R^{G},\;|\{g\in G\colon r_{g}\neq 0\}|<\aleph _{0}\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53599bf8e7b1925605c6a9f82927fcd53bcfbf3d)
![{\displaystyle R[\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4231afb1ea2afcdf84328df5f8b4e06bb216d6)
![{\displaystyle 1_{R[{\mathcal {C}}]}=\sum _{X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}\operatorname {id} _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c378fba48fcef3c3b11cdf02aa008da961f4a2)
![{\displaystyle R[{\mathcal {C}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46157aeacb2b1726380f4cc4e68388bc17b00e5)
![{\displaystyle k[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a13dacf8d6ff682a6b5d59e84f93e589cba3fa1)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40260c366fc309a5872899d2ea34cf094855857)
![{\displaystyle K[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083a999799be375d1cbc5c62575915924775f275)
![{\displaystyle R[\mathbb {N} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22045d3b859ea30aa2930918eb88a9dc3395a40)
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
![{\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (\infty )]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840fa174a54aef4a27158dc246d994845e634aef)
![{\displaystyle R[\operatorname {Cyc} (n)]\cong R[x]/(x^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa07bf63bb7b000b54de0d5c385ad1040641fdca)
![{\displaystyle R[\operatorname {Pair} (S)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6046184bc03cd9efbe119fcef49785bb955a30)
![{\displaystyle R[S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4889f5ff0aea22df0ce337dd6cc4000bf426ee04)
