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닫힌 몰입

(닫힌 부분 스킴에서 넘어옴)

스킴 이론에서, 닫힌 몰입(-沒入, 영어: closed immersion)은 스킴 사상 가운데, 정의역공역닫힌집합으로 대응시키며, 정의역의 정칙 함수가 국소적으로 공역에 확장될 수 있게 하는 것이다. 대수학적으로, 이는 국소적으로 아이디얼에 대한 몫환을 취하는 꼴의 스킴 사상에 해당한다.

정의편집

스킴  ,   사이의 사상  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 닫힌 몰입이라고 한다.

  •     사이의 위상 동형이며,  닫힌집합이며,  전사 사상이다.[1]:85 (이는 모든 점  에서 줄기 사상  전사 함수인 것과 동치이다.)
  •   속의 임의의 아핀 열린집합  에 대하여,  가 되는 어떤 아이디얼  가 존재한다.
  •   위의 어떤 한 아핀 열린 덮개  에 대하여,  가 되는 어떤 아이디얼 가 존재한다.
  • 어떤 준연접 아이디얼 층  에 대하여,  이며, 이는 스킴의 동형 사상  을 정의한다. (여기서  상대 사영 스펙트럼이다.)

스킴  닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은   위의 스킴의 범주  에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.[1]:85 즉, 두 닫힌 몰입  ,  에서,  인 동형  이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.

성질편집

함의 관계편집

모든 닫힌 몰입은 유한 사상이며, 분리 사상이며, 준콤팩트 함수이다 (즉, 연속 함수로서, 콤팩트 열린집합의 원상이 콤팩트 열린집합이다).

연산에 대한 닫힘편집

임의의 세 스킴  ,  ,  스킴 사상

 

가 주어졌다고 하자. 만약  가 닫힌 몰입이며,  분리 사상이라면,   역시 닫힌 몰입이다.

두 닫힌 몰입의 합성은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.

스킴 상편집

스킴 사상  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  스킴 상(영어: scheme-theoretic image)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 스킴  
  • 닫힌 몰입  . 또한, 어떤 스킴 사상  에 대하여  라고 하자.

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 스킴   및 닫힌 몰입   및 스킴 사상  에 대하여, 만약  라면,  인 스킴 사상  이 존재한다.

모든 스킴 사상은 스킴 상을 갖는다. (정의에 따라 이는 동형 사상 아래 유일하다.)

특히, 열린 부분 스킴스킴 폐포(영어: scheme-theoretic closure)는 그 포함 사상의 스킴 상이다.

편집

임의의 가환환   및 그 아이디얼  에 대하여, 몫환 준동형  에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상  는 닫힌 몰입이다.

참고 문헌편집

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크편집