환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 국소 단면 생성 가군층 (局所斷面生成加群層, 영어 : sheaf of modules locally generated by sections )이라고 한다.
임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 완전열 O X ⊕ λ | U → F | U → 0 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \lambda }|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0} 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 기수 λ {\displaystyle \lambda } 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 준연접 가군층 (準連接加群層, 영어 : quasicoherent sheaf of modules , 프랑스어 : faisceau de modules quasi-cohérent ) 또는 단순히 준연접층 이라고 한다.[1] :45, (5.1.3)
임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 완전열 O X ⊕ κ | U → O X ⊕ λ | U → F | U → 0 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \kappa }|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \lambda }|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0} 열린 근방 U ∋ x {\displaystyle U\ni x} 기수 κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } 국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수 κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } 자연수 이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층 /유한 표시 가군층 의 개념을 얻는다.
함의 관계
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임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
연접층 ⊆[1] :47, (5.3.2) 유한 표시 가군층 ⊆[1] :46, (5.2.5) 유한 생성 가군층 국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층[1] :48, (5.4.1) 국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층 이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[2]
유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆[1] :48, (5.4.1) 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층 동치 조건
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스킴 X {\displaystyle X} 가군층 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 동치 이다.
F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 임의의 아핀 열린 부분 스킴 Spec R ⊆ X {\displaystyle \operatorname {Spec} R\subseteq X} F | Spec R {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R}} O Spec R {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}} 가군층 으로서 어떤 R {\displaystyle R} 가군 으로부터 유도된 O Spec R {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}} 가군층 과 동형이다.
X {\displaystyle X} 아핀 열린 덮개 { Spec R i } i ∈ I {\displaystyle \{\operatorname {Spec} R_{i}\}_{i\in I}} F | Spec R i {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R_{i}}} O Spec R i {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}} 가군층 으로서 어떤 R i {\displaystyle R_{i}} 가군 으로부터 유도된 O Spec R i {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}} 가군층 과 동형이다.다음이 주어졌다고 하자.
두 스킴 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}
스킴 사상 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 그렇다면, Y {\displaystyle Y} F {\displaystyle {\mathcal {F}}} f ∗ F {\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} E {\displaystyle {\mathcal {E}}} f {\displaystyle f} 준콤팩트 준분리 사상 이라면 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} f ∗ F {\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}} Y {\displaystyle Y}
준연접층의 범주
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일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주 QCoh ( X ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)} 아벨 범주 가 아니다. 하지만, 만약 X {\displaystyle X} 스킴 일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.
그로텐디크 아벨 범주 이다. 특히, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 완비 쌍대 완비 아벨 범주 이다.포함 함자 I : QCoh ( X ) → O X -Mod {\displaystyle I\colon \operatorname {QCoh} (X)\to {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}} 오른쪽 수반 함자 Q : O X -Mod → QCoh ( X ) {\displaystyle Q\colon {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}\to \operatorname {QCoh} (X)} 즉, QCoh ( X ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)} QCoh ( X ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)} Q {\displaystyle Q}
아핀 스킴 위의 준연접층
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가환환 R {\displaystyle R} 동치 이다.
R {\displaystyle R} 가군 의 범주 Mod R {\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}} R {\displaystyle R} 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주 QCoh ( Spec R ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (\operatorname {Spec} R)} 구체적으로, R {\displaystyle R} 가군 M {\displaystyle M} 가군층 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}}
임의의 r ∈ R {\displaystyle r\in R} Γ ( Spec ( R r ) ; M ~ ) = R r ⊗ R M {\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} (R_{r});{\tilde {M}})=R_{r}\otimes _{R}M} 여기서
R r = ( { 1 , r , r 2 , … } ) − 1 R {\displaystyle R_{r}=(\{1,r,r^{2},\dots \})^{-1}R} 는 r {\displaystyle r} 모노이드 에서의 국소화 이며, 그 스펙트럼 은 Spec R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} 열린집합 을 정의한다.
반대로, Spec R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} F {\displaystyle {\mathcal {F}}} R {\displaystyle R} 가군 은 Γ ( Spec R ; F ) {\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {F}})}
스킴 X {\displaystyle X} 닫힌 부분 스킴 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 아이디얼 층 은 준연접 가군층이다. 특히, X {\displaystyle X} 0 {\displaystyle 0} 공집합 ∅ {\displaystyle \varnothing } 구조층 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 국소 뇌터 스킴 이 아닌 스킴의 경우 구조층이 연접층 이 아닐 수 있다.)
체 K {\displaystyle K} Spec K {\displaystyle \operatorname {Spec} K} 준연접층 의 개념이 일치하며, 이들은 모두 K {\displaystyle K} 벡터 공간 으로 주어진다. (이 가운데 연접층 은 유한 차원 K {\displaystyle K} 벡터 공간 이다.)
이산 값매김환 위의 준연접층과 준연접층이 아닌 가군층
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이산 값매김환 ( D , m , κ = D / m ) {\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa =D/{\mathfrak {m}})} 스펙트럼 Spec D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} 시에르핀스키 공간 이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 잉여류체 κ {\displaystyle \kappa } 영 아이디얼 0 {\displaystyle 0} 분수체 Frac D = K {\displaystyle \operatorname {Frac} D=K}
시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합 이 (크기 3의) 전순서 집합 이며, 특히 두 열린집합 의 합집합 을 취하여 더 큰 열린집합 을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층 이 층 을 이룬다.
Spec D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} F {\displaystyle {\mathcal {F}}}
Γ ( F , Spec D ) = M {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\operatorname {Spec} D)=M} D {\displaystyle D} 가군 이다.Γ ( F , { 0 } ) = N {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\{0\})=N} K {\displaystyle K} 벡터 공간 이다.Spec D → { 0 } {\displaystyle \operatorname {Spec} D\to \{0\}} ϕ : M ⊗ D K → N {\displaystyle \phi \colon M\otimes _{D}K\to N} K {\displaystyle K} 선형 변환 이다.즉, Spec D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} ( M , N , ϕ ) {\displaystyle (M,N,\phi )}
아핀 스킴 Spec D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} D {\displaystyle D} 가군 M {\displaystyle M} { 0 } {\displaystyle \{0\}} M ⊗ A K {\displaystyle M\otimes _{A}K} Spec D {\displaystyle \operatorname {Spec} D} ( M , N , ϕ ) {\displaystyle (M,N,\phi )} ϕ {\displaystyle \phi } K {\displaystyle K} 벡터 공간 의 동형 사상 인 것이다.
참고 문헌
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외부 링크
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