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대수기하학에서, 분리 사상(分離寫像, 영어: separated morphism, 프랑스어: morphisme séparé)은 스킴 사이의 사상의 일종이다. 정수환의 스펙트럼으로 가는 유일한 사상이 분리 사상인 스킴을 분리 스킴(分離scheme, 영어: separated scheme, 프랑스어: schéma séparé)이라고 한다. 스킴이 분리 스킴인 것은 위상 공간하우스도르프 공간인 것과 유사한 조건이다.[1]:95

정의편집

스킴의 범주는 모든 올곱을 갖는다. 임의의 스킴 사상  에 대하여 올곱  을 취할 수 있으며, 대각 사상  이 항상 보편 성질에 의하여 존재한다.

스킴 사상  이 다음 조건을 만족시킨다면, 준분리 사상(準分離寫像, 영어: quasiseparated morphism)이라고 한다.

준분리 스킴(準分離scheme, 영어: quasiseparated scheme)은  가 준분리 사상인 스킴  이다.

스킴 사상  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 사상을 분리 사상이라고 한다.

  • 대각 사상  닫힌집합이다.[1]:96, Corollary II.4.2
  • 대각 사상  닫힌 몰입이다.[1]:96
  • (값매김 조건 영어: valuative criterion)[2]:142, Proposition 7.2.3 준분리 사상이며, 임의의 값매김환   및 표준적 포함 사상  에 대하여, 오른쪽 올림이 만약 존재한다면 유일하다. 즉, 임의의 값매김환   및 임의의 사상   및 임의의 사상  에 대하여, 만약  라면,  인 사상  는 만약 존재한다면 유일하다.
     

분리 스킴 가 분리 사상인 스킴  이다.[1]:96

뇌터 스킴의 값매김 조건편집

만약  국소 뇌터 스킴이며,  국소 유한형 사상이라면, 값매김 조건에서 "모든 값매김환   …"를 "모든 이산 값매김환   …"로 약화시킬 수 있다.[2]:142, Proposition 7.2.3[1]:97, Theorem II.4.3 국소 뇌터 스킴을 정의역으로 하는 모든 스킴 사상은 준분리 사상이므로, 만약   또한 국소 뇌터 스킴이라고 가정한다면 " 는 준분리 사상이며, …" 역시 생략할 수 있다.

분리 사상의 값매김 조건에서 "존재한다면 유일하다"를 "유일하게 존재한다"로 바꾸면, 고유 사상의 값매김 조건을 얻는다.

성질편집

임의의 두 아핀 스킴 사이의 사상은 분리 사상이다.[1]:96, Proposition II.4.1 특히, 모든 아핀 스킴은 분리 스킴이다. 이 경우, 대각 사상

 

은 자연스러운 환 준동형 사상

 
 

이다. 이는 항상 전사 준동형임을 알 수 있다.

모든 분리 스킴은 준분리 스킴이다.

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모든 대수다양체는 분리 스킴이다.

 에 대하여, 두 개의 아핀 직선  을, 0을 제외한 열린 집합  에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.[1]:75–76, Example II.2.3.6; 96, Example II.4.0.1

역사편집

원래 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 1권 초판[3] 에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(영어: prescheme, 프랑스어: préschéma)라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판[4] 에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.[1]:xv

같이 보기편집

각주편집

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 
  2. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). “Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 8. ISSN 0073-8301. MR 0217084. doi:10.1007/bf02699291. 
  3. Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4 (1): 5–214. ISSN 0073-8301. MR 0217083. Zbl 0118.36206. doi:10.1007/BF02684778. 
  4. Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1971). 《Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (프랑스어) 166 2판. Springer. ISBN 978-3-540-05113-8. Zbl 0203.23301. 

외부 링크편집