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미분기하학에서, 에르미트 다양체(Hermite多樣體, 영어: Hermitian manifold)는 일종의 계량 텐서를 가진 복소다양체이다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념이다.

켈러 다양체칼라비-야우 다양체는 에르미트 다양체의 특수한 경우다.

정의편집

에르미트 계량편집

매끄러운 다양체   위의  차원 매끄러운 벡터 다발   위의 개복소구조(영어: almost complex structure), 즉  이 되는 매끄러운 단면  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각  에 대하여,

 

고윳값  를 가지며, 따라서 부분 복소수 벡터 공간

 
 

을 정의할 수 있다. 또한, 표준적인 사상

 
 

이 존재한다.

그렇다면,   위의 에르미트 계량(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 매끄러운 단면

 

이다. (여기서  는 각 올에 대한 복소수 연속 쌍대 공간을 취하는 것이다.)

 
 

여기서  복소수복소켤레를 뜻한다. 이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. 우선,  의 첨자를  로,  의 첨자를  로 표기하자. 마찬가지로,  에 대하여  의 성분을  로,  의 성분을  로 표기하자. 그렇다면,

 
 

특히, 첫째 조건은  에르미트 행렬을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 에르미트 행렬고윳값이 모두 양의 실수라는 것이다.

에르미트 다양체편집

개복소다양체 (또는 복소다양체)  이 주어졌다고 하자. 이 경우, 접다발   위에 개복소구조  가 주어져  을 정의할 수 있다.

에르미트 다양체    위에 에르미트 계량  가 주어진 복소다양체이다.

성질편집

리만 구조편집

모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.

 

이 경우,  이므로, 이는  로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다.

또한,  를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소수 미분 형식  를 정의할 수 있다.

 
 

천 접속편집

복소다양체   위의 해석적 벡터 다발   위의 에르미트 계량  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,   위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속  가 존재한다. 이를 천 접속([陳]接續, Chern connection)이라고 한다.

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만약  일 경우 (에르미트 다양체), 이는   위의 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.

외부 링크편집