T1 공간

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일반위상수학에서 T1 공간(T1空間, 영어: T1 space)은 주어진 두 점에 대하여, 첫째를 포함하며 둘째를 포함하지 않는 열린집합이 존재하는 위상 공간이다. 이는 콜모고로프 공간보다 강하지만, 하우스도르프 공간보다 약한 개념이다. 간혹 프레셰 공간(Fréchet space)이라고도 하는데, 이 용어는 함수해석학에서 다루는, 무관한 개념인 프레셰 공간과 혼동될 수 있다.

위상 공간분리공리
T0콜모고로프 공간
T1 
T2하우스도르프 공간
T우리손 공간
완전 T완비 하우스도르프 공간
T3정칙 하우스도르프 공간
T티호노프 공간
T4정규 하우스도르프 공간
T5완비 정규 하우스도르프 공간
T6완전 정규 하우스도르프 공간

정의

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위상 공간  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 R0 공간이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약  열린집합  가 존재한다면,  열린집합  가 존재한다.
  • 임의의 열린집합  에 대하여,  닫힌집합들의 집합  이 존재한다.

위상 공간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 T1 공간이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약  라면,  열린집합  가 존재한다.
  • 콜모고로프 공간이며 R0 공간이다.
  • 임의의  에 대하여,  닫힌집합이다.
  • 임의의 유한 집합  닫힌집합이다.
  • 임의의 부분 집합  에 대하여,  를 포함하는 모든 열린집합들의 교집합 와 같다.

위상 공간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 TD 공간이라고 한다.

  • 임의의 부분 집합  유도 집합닫힌집합이다.
  • 임의의  에 대하여,  유도 집합닫힌집합이다.
  • 임의의  에 대하여,  열린집합  닫힌집합  가 존재한다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 … 닫힌집합이어야 한다 열린집합이어야 한다 닫힌집합일 수 없다 열린집합일 수 없다 열린집합닫힌집합의 교집합이어야 한다
위상 공간의 종류 T1 공간 이산 공간 (특별한 이름이 없음) 자기 조밀 공간 TD 공간

성질

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다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

하우스도르프 공간(T2) ⊊ T1 공간 = (R0 공간 ∩ 콜모고로프 공간(T0)) ⊊ TD 공간 ⊊ 콜모고로프 공간(T0)

차분한 공간과의 관계

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차분한 공간과 T1 공간은 서로를 함의하지 않는다.

차분한 TD 공간의 부분 집합차분한 공간이다. 그러나 이는 일반적인 차분한 공간에 대해서는 성립하지 않는다.

모든 알렉산드로프 공간은 TD 공간이다.[1]:35, Theorem 5.2 특히, 모든 유한 콜모고로프 공간은 TD 공간이다.

각주

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  1. Aull, C. E.; Thron, W. J. (1962). “Separation axioms between T0 and T1”. 《Indagationes Mathematicae》 (영어) 24: 26–37. ISSN 0019-3577. 

외부 링크

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