대칭 모노이드 범주

범주론에서, 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, 영어: symmetric monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙교환 법칙이 성립하고, 동형 사상 아래 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. (교환 법칙이 성립하지 못할 수 있는) 모노이드 범주의 개념의 특수한 경우이다.

정의편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 모노이드 범주  
  • 함자  ,   사이의 자연 동형  . 여기서  ,  는 곱범주 위의 표준적인 자연 동형이다.

이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각하자.

  • (결합자와의 호환) 임의의 대상  에 대하여,  . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
     
  • (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상  에 대하여,  . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
     
  • (멱등성) 임의의 대상  에 대하여,  . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
     

이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 꼬임 모노이드 범주(영어: braided monoidal category)라고 한다. 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 이를 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, 영어: symmetric monoidal category)라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다.

성질편집

모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다.[1]

  • (항등원과의 호환) 임의의 대상  에 대하여,  . 즉, 다음 그림이 가환한다.
     

편집

(끝 대상을 포함한) 유한 이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 대칭 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주(영어: Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 대칭 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주(영어: co-Cartesian monoidal category)라고 한다.

역사편집

손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다.[2]

꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요(프랑스어: André Joyal, 1943~)와 로스 하워드 스트리트(영어: Ross Howard Street)가 도입하였다.[3][4]

참고 문헌편집

  1. Kelly, Gregory Maxwell (1964년 12월). “On MacLane’s conditions for coherence of natural associativities, commutativities, etc.”. 《Journal of Algebra》 (영어) 1 (4): 397–402. doi:10.1016/0021-8693(64)90018-3. ISSN 0021-8693. 
  2. Mac Lane, Saunders (1963). “Natural associativity and commutativity”. 《Rice University Studies》 (영어) 49 (4): 28–46. ISSN 0035-4996. Zbl 0244.18008. 
  3. Joyal, André; Street, Ross (1986년 11월). 《Braided monoidal categories》 (PDF). Macquarie Mathematics Reports (영어). 860081. 맥쿼리 대학교. 
  4. Joyal, André; Street, Ross (1993년 11월). “Braided tensor categories”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 102 (1): 20–78. doi:10.1006/aima.1993.1055. ISSN 0001-8708. 

외부 링크편집