뒤발 특이점

대수기하학에서 뒤발 특이점(영어: du Val singularity) 또는 클라인 특이점(영어: Kleinian singularity)은 복소 대수 곡면의 특이점의 한 종류다. 이들은 최소분해(영어: minimal resolution)가 존재하며, 이는 ADE형의 딘킨 도표로 분류된다.

역사

영국의 패트릭 뒤발(영어: Patrick du Val)^[1]과 독일의 펠릭스 클라인의 이름을 땄다. 뒤발은 1934년에 이 특이점들을 연구하였다.^[2]^[3]^[4]

분류

뒤발 특이점은 ADE형의 딘킨 도표에 의하여 분류된다.

뒤발 특이점은 다음과 같은 꼴이다. 여기서 $w,x,y\in \mathbb {C}$ 는 복소 변수이며, 이들은 $\mathbb {C} ^{3}$ 속에 복소 2차원 아핀 대수다양체를 이룬다. 이 대수 곡면들은 $w=x=y=0$ 에 특이점을 가진다.

A_n: $w^{2}+x^{2}+y^{n+1}=0$
D_n: $w^{2}+y(x^{2}+y^{n-2})=0$ (n≥4)
E₆: $w^{2}+x^{3}+y^{4}=0$
E₇: $w^{2}+x(x^{2}+y^{3})=0$
E₈: $w^{2}+x^{3}+y^{5}=0.$

이들은 $\mathbb {C} ^{2}$ 를 $SL(2;\mathbb {C} )$ 의 유한 부분군의 작용으로 몫공간을 취한 것으로 볼 수 있다. $SL(2;\mathbb {C} )$ (또는 $SU(2)$ )의 부분군들은 이진다면체군(영어: binary polyhedral group)이라고 불리며, 이들에 대한 ADE 분류가 존재한다. (이를 매케이 대응성(영어: McKay correspondence)이라고 한다.^[5]) 이에 따라, 뒤발 특이점 또한 ADE로 분류된다. 여기서 "이진"이란 SU(2)=Spin(3)는 SO(3)의 이중피복군이므로, 이진다면체군은 SO(3)의 부분군(다면체군)의 이중피복에 해당하기 때문이다. 이들은 (SO(3)의 부분공간으로서) 다음과 같다.

ADE 분류	SO(3) 부분군
A_n	n+1차 순환군 $Z_{n+1}$
D_n	2n차 정이면체군 $\operatorname {Dih} _{n}$
E₆	정사면체군 (정사면체의 대칭군)
E₇	정팔면체군 (정육면체와 정팔면체의 대칭군)
E₈	정이십면체군 (정십이면체와 정이십면체의 대칭군)

구체적으로, 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, 뒤발 특이점을 갖는 아핀 대수다양체

X=\operatorname {Spec} {\frac {K[w,x,y]}{(p)}}

를 생각하자. 이는 원점 $(x,y,z)$ 에서 특이점을 갖는다. 이를 해소하기 위하여 특이점에서 부풀리기를 취할 수 있다. 이 경우, 일반적으로 여러 번 부풀리기를 취해야만 한다. 부풀리기를 하여 얻은 유리 곡선들은 항상 자기 교차수 −2를 가지며, 이들은 물론 서로 교차수를 갖게 된다. 이 교차수들은 항상 0 또는 1이다. 이 경우, 다음과 같은 유한 그래프 $\Gamma$ 를 정의할 수 있다.

$\Gamma$ 의 각 꼭짓점은 예외 인자(자기 교차수 −2의 유리 곡선)이다.
$\Gamma$ 의 서로 다른 두 꼭짓점 사이에 변이 있을 필요 충분 조건은 이에 대응하는 예외 인자가 교차하는 (교차수가 1인) 것이다.

그렇다면 $\Gamma$ 는 ADE형의 딘킨 도표이다.

응용

끈 이론에서는 축소화하는 3차원 복소 다양체에 따라 4차원 물리가 결정된다. 이 3차원 복소 다양체는 오비폴드 꼴의 특이점을 가질 수 있는데, 이는 국소적으로 뒤발 특이점이다. 뒤발 특이점의 딘킨 도표는 4차원 물리의 화살집 도형과 같다. 이는 D-막이 특이점에 감겨 있기 때문이다. D-막의 배열은 뒤발 특이점의 부풀리기의 꼴과 같다.^[6] 이는 프레디 카차소(스페인어: Freddy Alexander Cachazo)와 셸던 카츠(영어: Sheldon Katz), 캄란 바파가 2001년에 발견하였다.^[7]

각주

↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2010년 2월). “Patrick Du Val”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
↑ du Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part I)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 453–459,. doi:10.1017/S030500410001269X. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17602.
↑ du Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part II)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 460–465. doi:10.1017/S0305004100012706. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17603.
↑ du Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part III)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 483–491. doi:10.1017/S030500410001272X. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17701.
↑ McKay, John (1980). 〈Graphs, singularities, and finite groups〉. 《Proceedings of 1979 Santa Cruz group theory conference》. AMS Symposia in Pure Mathematics (영어) 37. 183–186쪽. ISBN 0-8218-1440-0. MR 0604577. Zbl 0451.05026.
↑ He, Yang-Hui (2004). “Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi-Yau singularities” (영어). arXiv:hep-th/0408142. Bibcode:2004hep.th....8142H.
↑ Cachazo, Freddy; Sheldon Katz, Cumrun Vafa (2001). “Geometric transitions and 𝒩=1 quiver theories” (영어). arXiv:hep-th/0108120. Bibcode:2001hep.th....8120C.

Artin, Michael (1966). “On isolated rational singularities of surfaces”. 《American Journal of Mathematics》 88 (1): 129–136. doi:10.2307/2373050. ISSN 0002-9327. JSTOR 2373050. MR 0199191. Zbl 0142.18602.
Barth, Wolf P.; Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven (2004). 《Compact Complex Surfaces》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Springer. ISBN 978-3-540-00832-3. MR 2030225.
Durfee, Alan H. (1979). “Fifteen characterizations of rational double points and simple critical points”. 《L’Enseignement Mathématique》 25 (1–2): 131–163. doi:10.5169/seals-50375. ISSN 0013-8584. MR 543555. Zbl 0418.14020.
Reid, Miles. “The du Val singularities A_n, D_n, E₆, E₇, E₈” (PDF).
Burban, Igor. “Du Val Singularities” (PDF). 2012년 2월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 4월 16일에 확인함.

[1] O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2010년 2월). “Patrick Du Val”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.

[2] u Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part I)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 453–459,. doi:10.1017/S030500410001269X. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17602.

[3] u Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part II)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 460–465. doi:10.1017/S0305004100012706. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17603.

[4] u Val, Patrick (1934년 10월). “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part III)”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 30 (4): 483–491. doi:10.1017/S030500410001272X. ISSN 0305-0041. Zbl 0010.17701.

[5] McKay, John (1980). 〈Graphs, singularities, and finite groups〉. 《Proceedings of 1979 Santa Cruz group theory conference》. AMS Symposia in Pure Mathematics (영어) 37. 183–186쪽. ISBN 0-8218-1440-0. MR 0604577. Zbl 0451.05026.

[6] He, Yang-Hui (2004). “Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi-Yau singularities” (영어). arXiv:hep-th/0408142. Bibcode:2004hep.th....8142H.

[7] Cachazo, Freddy; Sheldon Katz, Cumrun Vafa (2001). “Geometric transitions and 𝒩=1 quiver theories” (영어). arXiv:hep-th/0108120. Bibcode:2001hep.th....8120C.

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