등각 켤레점

기하학에서, 등각 켤레점(等角-點, 영어: isogonal conjugate point)은 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선들의 교점이다.

등각 켤레점
등각 켤레점을 취하는 변환

정의편집

삼각형  의 한 꼭짓점   (또는   또는  )를 지나는 직선의 등각 켤레선(等角-線, 영어: isogonal (conjugate) line)은 그 직선을 내각   (또는   또는  )의 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형  의 한 꼭짓점  를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선   를 뜻한다.

  • 둘 다 삼각형의 내부를 지나거나, 둘 다 삼각형의 내부를 지나지 않는다.
  •   (즉,  )

삼각형   및 같은 평면 위의 점  가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선  ,  ,  의 등각 켤레선은 한 점  에서 만난다. 이 점을 삼각형  에 대한 점  등각 켤레점이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점   이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다.

증명:

AP, BP, CP와 BC, CA, AB의 교점을 D, E, F라 하고, AP, BP, CP를 각각 각 A, B, C에 대해 각대칭시킨 세 직선과 BC, CA, AB의 교점을 D', E' F'이라 하자. 삼각형 ABC와 점 P에 대해 각체바 정리를 쓰면,

 

AD, BE, CF와 AD', BE', CF'은 각대칭이므로 다음이 성립한다.

 

따라서 각체바 정리의 역에 의해 AD', BE', CF'은 한 점 Q에서 만난다.

성질편집

삼각형  에 대한 등각 켤레점   이 주어졌다고 하자. 점  를 삼각형의 각 변  ,  ,  에 반사시켜 얻는 점을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 삼각형  의 외심은  이다.

등각 켤레점의 수족 삼각형외접원은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 삼각형   및 등각 켤레점   가 주어졌다고 하자. 점  에서 세 변  ,  ,  에 내린 수선의 발을 각각  ,  ,  라고 하고, 점  에서 세 변  ,  ,  에 내린 수선의 발을 각각  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점  ,  ,  ,  ,  ,    의 중점  을 중심으로 하는 위의 점이다.[1]:67, §7.4, (viii)

증명:

대칭성에 따라  ,  ,  ,   을 중심으로 하는 원 위의 점임을 증명하는 것으로 충분하다. 직선   의 교점을  라고 하자.  ,  ,  ,  은 한 원 위의 점이므로

 

이다. 따라서 직선   의 수선이며, 삼각형   , 삼각형   은 닮음이다. 따라서

 

이며, 방멱의 성질에 따라  ,  ,  ,  은 한 원 위의 점이다.  은 선분  의 중점이며 직선   , 직선   은 평행하므로  은 선분   의 수직 이등분선의 교점이다. 즉,  은 네 점  ,  ,  ,  을 지나는 원의 중심이다.

드로츠파르니 원편집

삼각형   및 등각 켤레점   가 주어졌다고 하자. 점  를 지나는 변  ,  ,  의 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 점  을 지나는 변  ,  ,  의 수선의 발을  ,  ,  라고 하자. 점  ,  ,  를 중심으로 하고 점  을 지나는 원이 변  ,  ,  와 각각 두 점   ,   ,   에서 만난다고 하자. 마찬가지로 점  ,  ,  를 중심으로 하고 점  을 지나는 원이 변  ,  ,  와 각각 두 점   ,   ,   에서 만난다고 하자. 그렇다면 6개의 점  ,  ,  ,  ,  ,  는 점  를 중심으로 하는 한 원 위의 점이며, 다른 6개의 점  ,  ,  ,  ,  ,  은 점  을 중심으로 하는 한 원 위의 점이다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 등각 켤레점   드로츠파르니 원(영어: Droz-Farny circles)이라고 한다.[1]:71, §7.4, (ix)

증명:

  의 중점을  이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 

첫째 등호는 피타고라스 정리, 둘째 등호는 점  의 정의, 셋째 등호는 코사인 법칙에 따른다.  은 점   의 수족 삼각형의 공통 외접원의 반지름이므로, 점   에만 의존한다. 따라서  는 점   에만 의존하며,  를 남은 5개의 점 가운데 하나로 대체하여도 결과는 같다.

편집

다음과 같은 두 점의 쌍들은 등각 켤레점이다.

각주편집

  1. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 

외부 링크편집