수족 삼각형

기하학에서 수족 삼각형(垂足三角形, 영어: pedal triangle)은 주어진 점에서 삼각형의 세 변에 내린 수선의 발들로 이루어진 삼각형이다.

수족 삼각형

심슨 직선

정의

점 $P$에서 삼각형 $ABC$의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하자. 만약 $P$가 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 점이라면, $D$, $E$, $F$는 한 직선 위의 점이며, 이 직선을 삼각형 $ABC$에 대한 점 $P$의 심슨 직선이라고 한다. 만약 $P$가 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 점이 아니라면, $D$, $E$, $F$는 한 직선 위의 점이 아니며, 이 경우 삼각형 $DEF$를 점 $P$에 대한 삼각형 $ABC$의 수족 삼각형이라고 한다.

성질

점 $P$에서 삼각형 $ABC$의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하고, 삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$, 외접원의 반지름을 $R$라고 하자. 그렇다면 사인 법칙에 따라 수족 삼각형 $DEF$의 세 변의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^{:23, §1.9, Theorem 1.91}

$EF=AP\cdot \sin A={\frac {AP\cdot a}{2R}}$

$FD=BP\cdot \sin B={\frac {BP\cdot b}{2R}}$

$DE=CP\cdot \sin C={\frac {CP\cdot c}{2R}}$

점 $P$에서 삼각형 $ABC$의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하자. 그렇다면 수족 삼각형의 세 꼭짓점 $D$, $E$, $F$가 원래 삼각형의 변을 나누는 길이는 다음 등식을 만족시킨다.^:85–86

$AF^{2}+BD^{2}+CE^{2}=FB^{2}+DC^{2}+EA^{2}$

등각 켤레점을 이루는 두 점에 대한 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 공통 외접원의 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다.^{:67, §7.4, (viii)}

같은 점에 대한 수족 삼각형의 수족 삼각형의 수족 삼각형은 원래 삼각형과 닮음이다. 즉, 점 $P$에 대한 삼각형 $ABC$의 수족 삼각형을 $D_{1}E_{1}F_{1}$라고 하고, 같은 점 $P$에 대한 삼각형 $D_{1}E_{1}F_{1}$의 수족 삼각형을 $D_{2}E_{2}F_{2}$라고 하고, 같은 점 $P$에 대한 삼각형 $D_{2}E_{2}F_{2}$의 수족 삼각형을 $D_{3}E_{3}F_{3}$라고 하자. 그렇다면 삼각형 $D_{3}E_{3}F_{3}$은 원래 삼각형 $ABC$와 닮음이다.^{:24, §1.9, Theorem 1.92} 보다 일반적으로, $n$각형이 주어졌을 때, 같은 점에 대한 $n$번째 수족 $n$각형은 원래 $n$각형과 닮음이다.

증명:

마주보는 두 각이 직각인 사각형의 네 꼭짓점은 한 원 위의 점이므로, 원주각의 성질에 따라

$\angle PAC=\angle PF_{1}E_{1}=\angle PE_{2}D_{2}=\angle PD_{3}F_{3}$

$\angle PAB=\angle PE_{1}F_{1}=\angle PF_{2}D_{2}=\angle PD_{3}E_{3}$

이다. 따라서 $\angle BAC=\angle E_{3}D_{3}F_{3}$이다. 마찬가지로 $\angle ABC=\angle D_{3}E_{3}F_{3}$임을 보일 수 있다. 따라서 삼각형 $ABC$와 삼각형 $D_{3}E_{3}F_{3}$은 닮음이다.

반수족 삼각형

삼각형 $ABC$ 및 점 $P$가 주어졌다고 하자. 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는, 직선 $PA$, $PB$, $PC$의 평행선의 세 교점을 $X$, $Y$, $Z$라고 하자. 만약 점 $P$가 직선 $BC$ 또는 $CA$ 또는 $AB$ 위의 점이라면, 세 직선 가운데 한 쌍은 평행하며 세 교점 $X$, $Y$, $Z$ 가운데 하나는 무한 원점이다. 만약 점 $P$가 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 점이라면, 세 직선은 한 점 $X=Y=Z$에서 만난다.^{:225, §XII.360} 만약 점 $P$가 직선 $BC$ 또는 $CA$ 또는 $AB$ 위의 점이 아니며 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 점이 아니라면, 세 교점 $X$, $Y$, $Z$는 삼각형의 꼭짓점을 이루며, 이 경우 삼각형 $XYZ$를 점 $P$에 대한 삼각형 $ABC$의 반수족 삼각형(反垂足三角形, 영어: antipedal triangle)이라고 한다. 이 경우 반수족 삼각형은 원래 삼각형을 수족 삼각형으로 하는 유일한 삼각형이다.

주어진 점에 대한 반수족 삼각형은 그 등각 켤레점에 대한 수족 삼각형과 중심 닮음이다.^{:225, §XII.360}

예

일부 특수한 점에 대한 수족 삼각형 또는 반수족 삼각형은 다음과 같다.

• 내심에 대한 수족 삼각형은 제르곤 삼각형이다.
• 외심에 대한 수족 삼각형은 중점 삼각형이다.
• 수심에 대한 수족 삼각형은 수심 삼각형이다.
• 내심에 대한 반수족 삼각형은 방심 삼각형이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Antipedal triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Bogomolny, Alexander. “Pedal triangle and isogonal conjugacy”. 《Cut the Knot》 (영어).