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반사 (기하학)

기하학에서, 반사(反射, 영어: reflection)는 어떤 초평면고정점 집합으로 하는, 유클리드 공간등거리 변환이다. 이러한 초평면은 거울과 같은 역할을 한다. 예를 들어, 알파벳 'p' 모양의 도형을 어떤 수직선에 대하여 반사하면, 알파벳 'q' 모양의 도형을 얻는다.

정의편집

 차원 유클리드 공간   차원 아핀 부분 공간  의 방정식이 다음과 같다고 하자.

 

그렇다면,   위의  에 대한 반사  는 다음과 같이 정의되는 함수이다.

 

즉, 각 점과 그 상을 잇는 선분은  에 의하여 수직 이등분된다.

성질편집

 
평면 위에서, 평행하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 평행 이동을 얻는다.
 
평면 위에서, 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 회전을 얻는다.

모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이다. 이는 방향을 보존하지 않으며, 또한 이는 반사 초평면을 고정점 집합으로 한다.

 
 

유클리드 공간의 원점을 지나는 초평면에 대한 반사는 선형 변환이며, 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 행렬을 갖는다.

 

모든 반사는 대합이다. 즉, 반사에 스스로를 합성하면 항등 함수를 얻는다.

 

서로 다른 두 반사 초평면이 평행할 경우, 두 반사의 합성평행 이동이다. 두 반사 초평면과 수직인 방향으로 두 반사 초평면 사이의 거리의 2배만큼 평행 이동한다. 반대로 모든 평행 이동은 이러한 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

 

서로 다른 두 반사 초평면이 교차할 경우, 두 반사의 합성은 회전이다. 구체적으로, 이는 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면의 사잇각의 2배만큼의 회전이 된다.3차원 또는 그 이하의 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원 또는 그 이상에서 성립하지 않는다.

 
 

 차원 유클리드 공간 위의 모든 등거리 변환은  개 또는 그 이하의 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

 

임의의 반사의 (등거리 변환에 의한) 켤레 원소는 반사이며, 반대로 임의의 두 반사는 서로 켤레다.

 

편집

2차원 유클리드 공간   위에서, x-축 및 y-축에 대한 반사의 행렬은 각각 다음과 같다.

 
 

즉, 이 둘은 행렬 표기법으로 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

 
 

외부 링크편집