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외접원

(외심에서 넘어옴)

외접원(外接圓)이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 모든 삼각형과 정다각형들에는 외접원이 존재하지만, 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다. 정다각형의 경우 외심은 정다각형의 중심과 같다.

삼각형의 외접원편집

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 삼각형의 각 꼭짓점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

 
삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점은 외접원의 중심에서 만난다.

이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.

외심의 위치편집

 

외접원과 외심의 성질편집

  • 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
  • 외접원의 중심이다.
  • 삼각형의 외심, 무게중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위에 있다. (오일러 직선 참고)
  • 직각삼각형의 경우, 외심은 빗변의 중점에 위치한다

사인 법칙편집

삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 각각  라 하고, 외접원의 반지름 길이를  이라 할 때,   이 성립한다.

외접원과 삼각형의 넓이편집

삼각형  의 세 변의 길이를  라 하고, 외접원의 반지름 길이를  이라 할 때, 삼각형의 넓이  

 이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

 (삼각형의 넓이)
 (사인 법칙)
따라서,
 

우산 정리편집

삼각형  와 그 외접원 위의 점  ,  위의 점  에 대해, 다음 세 조건 중 하나를 만족하면  이다.

  •  ,  는 각  의 이등분선 위의 점이다.
  •  ,  ,  는 한 직선 위에 있으며  이다.
  •  는 외심을 지나며   와 수직이다.

오일러 삼각형 정리편집

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는  이다.

오일러의 부등식편집

외접원과 내접원의 반지름  ,  에 대해   보다 같거나 크다.

사각형의 외접원편집

사각형  에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.

  •  (대각)
  •  (원주각)
  •   의 교점이  일 때,  (방멱)
  •  (톨레미의 정리)