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외접원(外接圓)이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 모든 삼각형과 정다각형들에는 외접원이 존재하지만, 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다. 정다각형의 경우 외심은 정다각형의 중심과 같다.

목차

삼각형의 외접원편집

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 삼각형의 각 꼭짓점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

 
삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점은 외접원의 중심에서 만난다.

이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.

외심의 위치편집

 

외접원과 외심의 성질편집

  • 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
  • 외접원의 중심이다.
  • 삼각형의 외심, 무게중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위에 있다. (오일러 직선 참고)
  • 직각삼각형의 경우, 외심은 빗변의 중점에 위치한다

사인 법칙편집

삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 각각  라 하고, 외접원의 반지름 길이를  이라 할 때,   이 성립한다.

외접원과 삼각형의 넓이편집

삼각형의 세 변의 길이를  라 하고, 외접원의 반지름 길이를  이라 할 때, 삼각형의 넓이  

 이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

 (삼각형의 넓이)
 (사인 법칙)
따라서,
 

우산 정리편집

삼각형  와 그 외접원 위의 점  위의 점  에 대해, 다음 세 조건 중 하나를 만족하면  이다.

  •  는 각  의 이등분선 위의 점이다.
  •  는 한 직선 위에 있으며  이다.
  •  는 외심을 지나며   와 수직이다.

오일러 삼각형 정리편집

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는  이다.

오일러의 부등식편집

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 R은 2r보다 같거나 크다.

사각형의 외접원편집

사각형 ABCD에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.

  •  (대각)
  •  (원주각)
  •   의 교점이  일 때,  (방멱)
  •  (톨레미의 정리)