K
{\displaystyle K}
에서 정의된 실함수열
{
f
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}
이 다음 조건들을 만족한다고 하자.
K
{\displaystyle K}
는
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
의 컴팩트 부분집합이다. (즉, 하이네-보렐 정리 에 의해
K
{\displaystyle K}
는 유계 인 닫힌집합 이다.)
{
f
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}
은 단조 (즉, 증가 거나 감소 )인 연속함수열 이다. (i.e.,
∀
x
∈
K
,
∀
n
∈
N
,
f
n
(
x
)
≤
f
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in K,\forall n\in \mathbb {N} ,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}
∨
{\displaystyle \lor }
f
n
(
x
)
≥
f
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)\geq f_{n+1}(x)}
)
f
n
{\displaystyle f_{n}}
이
K
{\displaystyle K}
에서 연속인 (극한)함수
f
:
K
→
R
{\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }
로 점별 수렴 한다. (i.e,
∃
{\displaystyle \exists }
continuous function
f
:
K
→
R
{\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }
such that
f
n
→
f
{\displaystyle f_{n}\rightarrow f}
on
K
{\displaystyle K}
)
그렇다면,
{
f
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}
이
K
{\displaystyle K}
에서
f
{\displaystyle f}
로 균등 수렴한다. 즉,
f
n
⇉
f
{\textstyle f_{n}\rightrightarrows f}
on
K
{\displaystyle K}
이다.
일반성을 잃지 않고 ,
{
f
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}
이 증가 하는 연속함수열 이라 하자. (만약
{
f
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}
이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.)
함수
g
n
:
K
→
R
{\displaystyle g_{n}:K\rightarrow \mathbb {R} }
을
g
n
=
f
−
f
n
{\displaystyle g_{n}=f-f_{n}}
이라 정의하자. 조건에 의해
f
{\displaystyle f}
와
f
n
{\displaystyle f_{n}}
는 연속함수 이므로
g
n
{\displaystyle g_{n}}
도 연속함수 이다.
먼저, 집합
O
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}
을
O
n
=
{
x
∈
K
:
g
n
(
x
)
<
ϵ
}
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=\left\{x\in K:g_{n}(x)<\epsilon \right\}}
이라 정의하자. 집합
O
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}
의 정의에 의해
O
n
=
g
−
1
(
−
∞
,
ϵ
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=g^{-1}(-\infty ,\epsilon )}
임을 알 수 있다.
또한
(
−
∞
,
ϵ
)
{\displaystyle (-\infty ,\epsilon )}
는
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
에서 열린집합 이고
g
n
{\displaystyle g_{n}}
이 연속함수 이므로
(
−
∞
,
ϵ
)
{\displaystyle (-\infty ,\epsilon )}
의 역상
O
n
=
g
−
1
(
−
∞
,
ϵ
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=g^{-1}(-\infty ,\epsilon )}
은
K
{\displaystyle K}
에서 열린집합 이다.
이제
K
⊆
⋃
i
∈
N
O
i
{\displaystyle K\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {O}}_{i}}
임을 보이기 위해
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
라 하자.
조건에 의해
f
n
{\displaystyle f_{n}}
이
K
{\displaystyle K}
에서 연속인 극한함수
f
:
K
→
R
{\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }
로 점별 수렴 하므로,
f
n
(
x
)
→
f
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x)}
이다.
따라서,
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
일 때
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \left\vert f_{n}(x)-f(x)\right\vert <\epsilon }
이 되도록 하는 양의 정수
N
{\displaystyle N}
이 존재한다.
g
n
{\displaystyle g_{n}}
과
O
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}
의 정의에 의해
x
∈
{\displaystyle x\in }
O
N
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{N}}
임을 알 수 있으므로
x
∈
{\displaystyle x\in }
⋃
i
∈
N
O
i
{\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {O}}_{i}}
이 성립한다.
따라서, 집합족
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
를
C
=
{
O
n
:
n
∈
N
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{{\mathcal {O}}_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}
이라 정의하면
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
는
K
{\displaystyle K}
의 열린덮개 가 된다.
K
{\displaystyle K}
는 조건에 의해 콤팩트 이므로
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 유한 열린 부분 덮개
C
′
=
{
O
1
,
O
2
,
⋯
,
O
m
}
{\displaystyle {\mathcal {C'}}=\left\{{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2},\cdots ,{\mathcal {O}}_{m}\right\}}
가 존재하여
K
⊆
⋃
i
=
1
m
O
i
{\displaystyle K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}}
이다. 특히 임의의 양의 정수
n
{\displaystyle n}
에 대해
O
n
⊆
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}\subseteq K}
이므로
⋃
i
=
1
m
O
i
⊆
K
{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}\subseteq K}
이다. 따라서,
K
=
⋃
i
=
1
m
O
i
{\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}}
이다.
또한
O
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}
⊆
O
n
+
1
{\displaystyle \subseteq {\mathcal {O}}_{n+1}}
임을 알 수 있으므로, 양의 정수
M
=
m
a
x
{
O
1
,
O
2
,
⋯
,
O
m
}
{\displaystyle M=\mathrm {max} \left\{{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2},\cdots ,{\mathcal {O}}_{m}\right\}}
에 대하여
K
=
O
M
{\displaystyle K={\mathcal {O}}_{M}}
이다.
이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다.
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여
n
≥
M
{\displaystyle n\geq M}
이고
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
라고 하자.
그러면
x
∈
K
=
O
M
⊆
O
n
{\displaystyle x\in K={\mathcal {O}}_{M}\subseteq {\mathcal {O}}_{n}}
이므로
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
<
ϵ
{\displaystyle f(x)-f_{n}(x)<\epsilon }
이다.
또한 가정에 의해
{
f
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}
이 증가 하는 연속함수열 이므로,
0
≤
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
<
ϵ
{\displaystyle 0\leq f(x)-f_{n}(x)<\epsilon }
임을 알 수 있다.
따라서
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \left\vert f_{n}(x)-f(x)\right\vert <\epsilon }
이다. 즉,
{
f
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}
이
K
{\displaystyle K}
에서
f
{\displaystyle f}
로 균등 수렴 한다.[1]
↑ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2010). 〈Chapter 8 SEQUENCE OF FUNCTIONS / Section 8.2. Interchange of Limits〉. 《Introduction to real analysis》 4판. New York Weinheim: Wiley. 252쪽. ISBN 978-0-471-43331-6 .