디리클레 판정법

디리클레 판정법(Dirichlet's test)은 무한급수의 수렴판정법 중 하나이다. 단조롭게 0으로 수렴하는 항들의 급수와 부분합이 유계인 급수를 항별로 곱한 것이 수렴급수라는 것으로 서술된다. 작자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 사후인 1862년 《순수 및 응용수학 저널》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)에 게재되었다.

교대급수판정법은 이 판정법의 특수한 경우이다.

서술

실수열 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$이 있을 때, 만약

• $a_{n}\geq a_{n+1}$

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

• $\textstyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$이 모든 양의 정수 $N$에 대해 성립하게 하는 상수 $M$ 존재

이라면, 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$는 수렴한다.^:182

증명

$\textstyle S_{N}=\sum _{k=1}^{N}b_{k}$이라 하자. 항별곱 급수에 대한 아벨 변환

$\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}=a_{n+p}(S_{n+p}-S_{n})+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(a_{k}-a_{k+1})(S_{k}-S_{n})$

을 통해 코시 수렴 판정법의 전제조건이 성립함을 증명할 것이다.

먼저 항상 $|S_{k}-S_{n}|\leq 2M$이 성립한다$(\because |S_{N}|\leq M)$ . 또한 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, $N$이 있어 $n>N$에 대해 항상 $\textstyle a_{n}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}$가 성립한다.

따라서 임의의 $n+p>n+1>N$에 대해

${\begin{array}{rcl}\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right|&\leq &a_{n+p}|S_{n+p}-S_{n}|+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(a_{k}-a_{k+1})|S_{k}-S_{n}|\\&\leq &2M\left(a_{n+p}+\sum _{k=n+1}^{n+p-1}(a_{k}-a_{k+1})\right)\\&=&2M\cdot a_{n+1}\\&\leq &2M\cdot {\frac {\varepsilon }{2M}}\\&=&\varepsilon \end{array}}$

이상적분

이상적분에도 비슷한 판정법이 적용된다. $f,g:[a,+\infty )\to \mathbb {R}$이 만약 두 조건

• $f$가 단조롭게 0으로 수렴

• $\textstyle \left|\int _{a}^{t}g(x)\,dx\right|\leq M$이 임의의 실수 $t>a$에 대해 성립

을 만족한다면, 이상적분 $\textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx$는 수렴한다.

같이 보기

• 교대급수판정법
• 아벨 판정법
• 아벨 변환