추상대수학 에서 로랑 다항식 (Laurent多項式, 영어 : Laurent polynomial )은 어떤 형식적 변수의 음 또는 양의 거듭제곱을 단항식 으로 하고, 유한 개의 단항식들로 구성된 다항식 이다. 로랑 다항식들의 집합은 가환 및 쌍대가환 호프 대수 를 이루며, 이는 다항식환 의 국소화 또는 군환 으로서 구성될 수 있다.
임의의 가환환
K
{\displaystyle K}
가 주어졌다고 하자. 로랑 다항식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치 이다.
K
{\displaystyle K}
계수의 다항식환
K
[
x
]
{\displaystyle K[{\mathsf {x}}]}
에서,
x
{\displaystyle {\mathsf {x}}}
로 생성되는 곱셈 부분 모노이드
S
=
{
1
,
x
,
x
2
,
x
3
,
…
}
⊆
K
[
x
]
{\displaystyle S=\{1,{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{2},{\mathsf {x}}^{3},\dotsc \}\subseteq K[{\mathsf {x}}]}
를 생각하자. 이에 대한 국소화
(
K
[
x
]
)
x
{\displaystyle (K[{\mathsf {x}}])_{\mathsf {x}}}
를 취할 수 있다. 이를
K
[
x
,
x
−
1
]
{\displaystyle K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]}
로 표기하며,
K
{\displaystyle K}
계수의 로랑 다항식 의 대수라고 한다.
무한 순환군
⟨
x
⟩
{\displaystyle \langle {\mathsf {x}}\rangle }
의
K
{\displaystyle K}
계수의 군환 을 로랑 다항식 의 대수라고 한다.
구체적으로, 편의상, 무한 순환군의 군 연산을 곱셈으로 표기하자. 즉,
⟨
x
⟩
=
{
…
,
x
−
2
,
x
−
1
,
1
,
x
,
x
2
,
…
}
{\displaystyle \langle {\mathsf {x}}\rangle =\{\dotsc ,{\mathsf {x}}^{-2},{\mathsf {x}}^{-1},1,{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{2},\dotsc \}}
이다. 이 경우, 그 원소는
p
=
∑
i
∈
Z
p
i
x
i
(
p
i
∈
K
)
{\displaystyle p=\sum _{i\in \mathbb {Z} }p_{i}{\mathsf {x}}^{i}\qquad (p_{i}\in K)}
의 꼴이 된다.
군환 의 일반적 성질에 따라서, 로랑 다항식의 대수는 호프 대수 를 이룬다.
K
{\displaystyle K}
계수의 로랑 다항식 은 다음과 같은 형식적 다항식이다.
p
=
∑
k
∈
Z
p
k
x
k
(
p
i
∈
K
)
{\displaystyle p=\sum _{k\in \mathbb {Z} }p_{k}{\mathsf {x}}^{k}\qquad (p_{i}\in K)}
|
{
k
∈
Z
:
p
k
≠
0
}
|
<
∞
{\displaystyle |\{k\in \mathbb {Z} \colon p_{k}\neq 0\}|<\infty }
즉, 이는 형식적 변수
x
{\displaystyle {\mathsf {x}}}
의 양 또는 음의 차수의 거듭제곱들의 항으로 구성된 다항식이며, 항의 수는 유한하다.
그 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.
p
+
q
=
∑
k
∈
Z
(
p
k
+
q
k
)
x
k
{\displaystyle p+q=\sum _{k\in {\mathsf {Z}}}(p_{k}+q_{k}){\mathsf {x}}^{k}}
p
q
=
∑
k
∈
Z
(
∑
i
+
j
=
k
p
i
q
j
)
x
k
{\displaystyle pq=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\sum _{i+j=k}p_{i}q_{j}\right){\mathsf {x}}^{k}}
이에 따라, 로랑 다항식들의 집합은
K
{\displaystyle K}
위의, 항등원을 갖는 가환 결합 대수 를 이룬다. 이를
K
[
x
,
x
−
1
]
{\displaystyle K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]}
로 표기한다.
체
K
{\displaystyle K}
에 대하여,
K
[
x
,
x
−
1
]
{\displaystyle {\mathsf {K}}[x,x^{-1}]}
는 뇌터 가환환 이다. 그러나 이는 아르틴 가환환 이 아니다.
만약
K
{\displaystyle K}
가 정역 일 경우,
K
[
x
,
x
−
1
]
{\displaystyle K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]}
의 가역원 의 집합은 다음과 같다.
Unit
(
K
[
x
,
x
−
1
]
)
=
{
a
x
i
∈
K
[
x
,
x
−
1
]
:
a
∈
Unit
(
K
)
,
i
∈
Z
}
{\displaystyle \operatorname {Unit} (K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}])=\{a{\mathsf {x}}^{i}\in K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]\colon a\in \operatorname {Unit} (K),\;i\in \mathbb {Z} \}}
임의의 가환환
K
{\displaystyle K}
의 가역원
u
∈
Unit
(
K
)
{\displaystyle u\in \operatorname {Unit} (K)}
에 대하여, 다음과 같은 값매김 준동형 (영어 : evaluation homomorphism )이 존재한다.
ev
u
:
K
[
x
,
x
−
1
]
→
K
{\displaystyle \operatorname {ev} _{u}\colon K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]\to K}
ev
u
:
p
↦
∑
i
∈
Z
p
i
u
i
∈
K
{\displaystyle \operatorname {ev} _{u}\colon p\mapsto \sum _{i\in \mathbb {Z} }p_{i}u^{i}\in K}
이는
K
{\displaystyle K}
-가환 결합 대수 의 준동형 이다.
로랑 다항식환 위에는 다음과 같은 형식적 미분이 정의된다.
d
d
x
:
K
[
x
,
x
−
1
]
→
K
[
x
,
x
−
1
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {x}}}}\colon K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]\to K[{\mathsf {x}},{\mathsf {x}}^{-1}]}
d
d
x
:
p
↦
∑
i
∈
Z
(
i
+
1
)
p
i
+
1
x
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {x}}}}\colon p\mapsto \sum _{i\in \mathbb {Z} }(i+1)p_{i+1}{\mathsf {x}}^{i}}
‘로랑 다항식’이라는 용어는 피에르 알퐁스 로랑 의 이름을 딴 것이며, 복소해석학 에서 쓰이는 정칙 함수 의 로랑 급수 에 빗댄 것이다. 그러나 이름과 달리 로랑 급수 는 일반적으로 무한 개의 음의 차수 단항식 및 무한 개의 양의 차수 단항식들을 가질 수 있으므로 일반적으로 로랑 다항식이 아니다.