르베그 덮개 차원

일반위상수학에서 르베그 덮개 차원(-次元, 영어: Lebesgue covering dimension) 또는 르베그 피복 차원(-被覆次元) 또는 위상적 차원(영어: topological dimension)은 위상 공간을 얼마나 ‘효율적으로’ 덮을 수 있는지를 측정하는 정수 값 불변량이다.

정의

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위상 공간  르베그 덮개 차원  는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수  이다.

  • 임의의 유한 열린 덮개  에 대하여,   의 열린 세분  가 존재한다.

만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면,  로 정의한다. 위 정의에서, “유한 열린 덮개”를 “국소 유한 열린 덮개”로 대체하여도 원래의 정의와 동치이다.[1]:Theorem 1

성질

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단체 복합체의 경우, 르베그 덮개 차원과 아핀 차원은 일치한다. (르베그 덮개 정리)

임의의 위상 공간의 르베그 덮개 차원은 큰 귀납적 차원보다 적거나 같다.

정규 공간  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 르베그 덮개 차원  
  •  의 임의의 닫힌 집합  연속 함수  에 대하여,   에 대한 확장  이 존재한다. ( 초구)

위상 공간  부분 집합  에 대하여, 만약  닫힌집합이거나,[2]:11, Proposition 2.11  완전 정규 공간이라면, 다음이 성립한다.

 

정규 공간  부분 집합  에 대하여, 만약  라면, 다음이 성립한다.[2]:25, Proposition 4.8 (르베그 덮개 차원에 대한 우리손 부등식)

 

위상 공간  가 다음 조건들 가운데 하나를 만족시킨다면, 부등식

 

이 성립한다.

다음 조건은 두 번째 조건을 함의하므로, 위 부등식을 함의한다.

다음 조건은 세 번째 조건을 함의하므로, 부등식을 함의한다.

정규 하우스도르프 공간  와 그 스톤-체흐 콤팩트화의 르베그 덮개 차원은 일치한다.[3]:182, Exercise 3.1.J

 

 차원 유클리드 공간  의 르베그 덮개 차원은  이다. 보다 일반적으로, 임의의  차원 다양체의 르베그 덮개 차원은  이다.

공집합이 아닌 이산 공간비이산 공간의 르베그 덮개 차원은 0이다.

르베그 덮개 차원이  인 공간은 공집합밖에 없다.

조르겐프라이 직선  의 르베그 덮개 차원은 0이다. 그러나 조르겐프라이 평면  의 르베그 덮개 차원은  이다.[4]:2, Theorem 1

 
 

역사

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앙리 르베그의 연구 결과에 바탕하여 체코수학자 에두아르트 체흐가 처음으로 공식적으로 도입하였다.

각주

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  1. Ostrand, Phillip A. (1971). “Covering dimension in general spaces”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 1 (3): 209–221. doi:10.1016/0016-660X(71)90093-6. ISSN 0016-660X. MR 0288741. Zbl 0232.54044. 
  2. Charalambous, Michael G. (2019). 《Dimension theory. A selection of theorems and counterexamples》. Atlantis Studies in Mathematics (영어) 7. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-030-22232-1. ISBN 978-3-030-22231-4. ISSN 1875-7634. MR 3970309. Zbl 1471.54001. 
  3. Engelking, Ryszard (1995). 《Theory of dimensions finite and infinite》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 10. Heldermann Verlag: Lemgo. ISBN 3-88538-010-2. MR 1363947. Zbl 0872.54002. 
  4. Sipacheva, Ol'ga (2021). “The covering dimension of the Sorgenfrey plane” (영어). arXiv:2110.08867. doi:10.48550/arXiv.2110.08867.  arXiv 인용에서 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Menger, Karl (1928). 《Dimensionstheorie》 (독일어). 라이프치히: B. G. Teubner. 
  • Pears, A. R. (1975). 《Dimension Theory of General Spaces》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8. 
  • V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

외부 링크

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같이 보기

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