리우빌 수
수론에서, 리우빌 수(영어: Liouville number)는 충분히 빠르게 수렴하는 유리수 수열로 근사할 수 있는 초월수이다.
정의편집
무리성 측도편집
무리수 의 무리성 측도(영어: irrationality measure)는 다음과 같다.
리우빌 수편집
무리수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 리우빌 수라고 한다.
- . 즉, 임의의 양의 실수 에 대하여, 인 두 정수 가 무한히 많이 존재한다.
- 임의의 양의 정수 에 대하여, 이며 인 두 정수 가 존재한다.
성질편집
초월성편집
임의의 무리수 에 대하여, 가 성립한다. 만약 가 대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, 이다. 특히, 모든 리우빌 수는 초월수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.
모든 리우빌 수가 초월수임은 리우빌 정리(영어: Liouville’s theorem)를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의 차 대수적 무리수 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 가 존재한다.
- 임의의 정수 및 양의 정수 에 대하여,
증명:
집합론적 성질편집
리우빌 수의 집합의 크기는 실수와 같은 이다.
위상수학적 성질편집
리우빌 수의 집합은 제1 범주 집합의 여집합이며, (실수선 는 베르 공간이므로) 특히 이는 조밀 집합이다.
측도론적 성질편집
예편집
다음은 일부 무리수의 무리성 측도 또는 그 상계들이다.
여기서 는 자연 로그의 밑, 는 원주율, 는 리만 제타 함수, 는 아크탄젠트, 은 자연 로그이다.
리우빌 상수편집
리우빌 상수(영어: Liouville’s constant)
는 리우빌 수이다.[1][2] 보다 일반적으로, 임의의 2 이상의 정수 및 에 대하여, 만약 인 가 존재하지 않는다면,
은 리우빌 수이다.
역사편집
조제프 리우빌의 이름을 땄다.
각주편집
참고 문헌편집
- Oxtoby, John C. (1980). 《Measure and Category. A Survey of the Analogies between Topological and Measure Spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 2 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2. ISSN 0072-5285. MR 0584443. Zbl 0435.28011.
- Beanland, Kevin; Roberts, James W.; Stevenson, Craig (2009). “Modifications of Thomae's Function and Differentiability”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 116 (6): 531–535. ISSN 0002-9890. JSTOR 40391145.
외부 링크편집
- 이철희. “리우빌 수”. 《수학노트》.
- “Liouville number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Liouville number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Liouville’s constant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Liouville’s theorem (number theory)”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Liouville’s constant is transcendental”. 《ProofWiki》 (영어).