리우빌 수

수론에서 리우빌 수(영어: Liouville number)는 충분히 빠르게 수렴하는 유리수 수열로 근사할 수 있는 초월수이다.

정의

무리성 측도

무리수 $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$의 무리성 측도(영어: irrationality measure)는 다음과 같다.

$\mu (x)=\inf \left\{n\in \mathbb {R} ^{+}\colon \left|\left\{(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\colon \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}\right\}\right|<\aleph _{0}\right\}$

리우빌 수

무리수 $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $x$를 리우빌 수라고 한다.

• $\mu (x)=\infty$. 즉, 임의의 양의 실수 $n\in \mathbb {R} ^{+}$에 대하여, $|x-p/q|<1/q^{n}$인 두 정수 $p,q\in \mathbb {Z}$가 무한히 많이 존재한다.
• 임의의 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, $|x-p/q|<1/q^{n}$이며 $q\geq 2$인 두 정수 $p,q\in \mathbb {Z}$가 존재한다.

성질

초월성

임의의 무리수 $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$에 대하여, $\mu (x)\geq 2$가 성립한다. 만약 $x$가 대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, $\mu (x)=2$이다. 특히, 모든 리우빌 수는 초월수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.

모든 리우빌 수가 초월수임은 리우빌 정리(영어: Liouville’s theorem)를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의 $n\geq 2$차 대수적 무리수 $x$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $M\in \mathbb {Z} ^{+}$가 존재한다.

• 임의의 정수 $p\in \mathbb {Z}$ 및 양의 정수 $q\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, $\left|x-p/q\right|>1/(Mq^{n})$

증명:

정리의 조건에 따라 $f(x)=0$인 $n$차 유리수 계수 기약 다항식 $f\in \mathbb {Q} [t]$이 존재한다.

$M\geq \sup _{y\in [x-1,x+1]}|f'(y)|$

인 양의 정수 $M\in \mathbb {Z} ^{+}$를 취하자. 임의의 정수 $p\in \mathbb {Z}$ 및 양의 정수 $q\in \mathbb {Z} ^{+}$가 주어졌다고 하자. 만약 $|x-p/q|>1$이라면,

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>1\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}$

이다. 만약 $|x-p/q|\leq 1$이라면, 부등호는 $f$는 유리근을 갖지 않으므로 $q^{n}|f(p/q)|$는 양의 정수이다. 평균값 정리에 따라

$Mq^{n}\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq q^{n}\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)-f(x)\right|=q^{n}\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq 1$

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, 리우빌 수 $x$가 $n\geq 2$차 대수적 무리수라고 하자.

$2^{k-n}>M$

인 양의 정수 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$를 취하자. 리우빌 수의 정의에 따라, 다음을 만족시키는 두 정수 $p,q\in \mathbb {Z}$가 존재한다.

${\frac {1}{q^{k}}}>\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{Mq^{n}}}$

$q\geq 2$

따라서

$M>q^{k-n}\geq 2^{k-n}>M$

이며, 이는 모순이다.

집합론적 성질

리우빌 수의 집합의 크기는 실수와 같은 $2^{\aleph _{0}}$이다.

위상수학적 성질

리우빌 수의 집합은 제1 범주 집합의 여집합이며, (실수선 $\mathbb {R}$는 베르 공간이므로) 특히 이는 조밀 집합이다.

측도론적 성질

리우빌 수의 집합의 르베그 측도는 0이며, 보다 일반적으로 임의의 차원의 하우스도르프 측도는 0이다.

예

다음은 일부 무리수의 무리성 측도 또는 그 상계들이다.

$\mu (e)=2$

$\mu (\pi )\leq 7.103205\cdots$

$\mu (\pi ^{2})\leq 5.441243$

$\mu (\pi /{\sqrt {3}})\leq 4.230464\cdots$

$\mu (\zeta (2))=\mu (\pi ^{2}/6)\leq 5.09541178\cdots$

$\mu (\zeta (3))\leq 5.513891$

$\mu (\ln 2)\leq 3.8913998$

$\mu (\ln 3)\leq 5.125$

$\mu (\arctan(1/3))\leq 6.096755\cdots$

여기서 $e$는 자연 로그의 밑, $\pi$는 원주율, $\zeta$는 리만 제타 함수, $\arctan$는 아크탄젠트, $\ln$은 자연 로그이다.

리우빌 상수

리우빌 상수(영어: Liouville’s constant)

$c=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}=0.1100010000000000000000010\dots$ (OEIS의 수열 A012245)

는 리우빌 수이다. 보다 일반적으로, 임의의 2 이상의 정수 $b\geq 2$ 및 $a_{1},a_{2},\dots \in \{0,1,\dots ,b-1\}$에 대하여, 만약 $0=a_{n}=a_{n+1}=\cdots$인 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$가 존재하지 않는다면,

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b^{-n!}$

은 리우빌 수이다.

증명:

순환 소수가 아니므로 $c$는 무리수이다.

임의의 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여,

$q=10^{n!}$

$p=10^{n!}\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}$

를 취하면

$\left|c-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }10^{-k!}<{\frac {1}{q^{n}}}$

이다. 즉, $c$는 리우빌 수이다.

역사

조제프 리우빌의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Oxtoby, John C. (1980). 《Measure and Category. A Survey of the Analogies between Topological and Measure Spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 2 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2. ISSN 0072-5285. MR 0584443. Zbl 0435.28011. 
• Beanland, Kevin; Roberts, James W.; Stevenson, Craig (2009). “Modifications of Thomae's Function and Differentiability”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 116 (6): 531–535. ISSN 0002-9890. JSTOR 40391145. 

외부 링크

• 이철희. “리우빌 수”. 《수학노트》. 
• “Liouville number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Liouville number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Liouville’s constant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Liouville’s theorem (number theory)”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Liouville’s constant is transcendental”. 《ProofWiki》 (영어).