리우빌 상수

리우빌 상수(Liouville's constant)

리우빌 수(Liouville number)에서 리우빌 상수 c를 정의할 수 있다.

$c=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.1100010000000000000000010\ldots$

리우빌 상수는 초월수로 증명되었다.

$q_{n}=b^{n!}\;,\;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{{a_{k}} \over {b^{k!}}}\;$으로부터 다음의 정수열을 정의할 수 있다.

$p_{n}=\sum _{k=1}^{n}10^{n!-k!}\;,\;\quad q_{n}=10^{n!}$

그리고

$c=\sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}} \over {b^{k!}}}$

에서 다음의 6차방정식에 접근하는것과 관계있다.

$10x^{6}-75x^{3}-190x+21=0$

그리고 다음의 등식에서 부등식을 만족한다.

$\left|c-{{p_{n}} \over {q_{n}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }10^{-k!}=10^{-(n+1)!}+10^{-(n+2)!}+\cdots <10\cdot 10^{-(n+1)!}\leq {\Big (}10^{-n!}{\Big )}^{n}={{1} \over {{q_{n}}^{n}}}$

그리고,

$0<\left|x-{{p} \over {q}}\right|<{{1} \over {q^{n}}}\,$

이어서,

$0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\leq {\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}\,$

다음과 같은 사실로부터

$n\cdot n!=n\cdot n!+n!-n!=(n+1)n!-n!\;$

$n\cdot n!=n\cdot n!+n!-n!=(n+1)!-n!\;$

이러한 "x"가 리우빌(Liouville)상수 "c"라는 결론에 접근할 수 있다.

함께보기

• 조제프 리우빌
• 리우빌 정리 (복소해석학)
• 리우빌 정리
• 무리수성 측도

참고

• 매스월드
• 매스월드
• OEIS