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확률론에서 마르코프 부등식(영어: Markov inequality)은 확률 변수의 함수가 어떤 양수 상수 이상일 확률에 대한 상계를 제시하는 부등식이다. 단, 이 함수는 음이 아니어야 한다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 안드레이 마르코프의 이름에서 따온 것이다. (그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 파프누티 체비쇼프가 먼저 발견하였다.)

마르코프 부등식은 다른 비슷한 부등식들과 함께 확률과 기댓값의 관계를 설명하고, 확률 변수의 누적 분포 함수에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.

설명편집

측도론 관점에서 보면 마르코프 부등식은 이런 뜻이다. (X,Σ,μ)가 측도 공간이고 f가측 확장된 실수값 함수이고 t > 0이면,

 

특히, 측도가 1인 공간(확률 공간)에서는 이렇게 말할 수 있다. X가 확률 변수이고 a > 0일 때

 

증명편집

측도 공간보다 확률 공간인 경우가 간단하고 이해하기 쉬우므로 먼저 설명한다.

특수한 경우: 확률론을 이용한 증명편집

어떤 사건 E에 대해서, IEE의 정의 확률 변수라 하자. 즉, E가 일어나면 IE = 1이고 일어나지 않으면 IE = 0이다. 따라서 사건 |X| ≥ a가 일어나면

I(|X| ≥ a) = 1

이고, 사건 |X| < a가 일어나면

I(|X| ≥ a) = 0

이다. 그러면 a > 0인 a가 주어질 때,

 

이고,

 

이며 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로

 

이고, 다음 식을 얻는다.

 

a > 0이므로, 양변을 a로 나누면 마르코프 부등식을 얻는다.

일반적인 경우: 측도 이론을 이용한 증명편집

가측 집합 A에 대해서 1AA지시 함수라 하자. 다시 말해서 xA일 때 1A(x) = 1이고, 다른 경우에는 0이다. AtAt = {xX| |f(x)| ≥ t}로 정의되면,

 

따라서,

 

이제 이 부등식의 왼쪽이 다음 식과 같다는 것을 생각하면,

 

따라서 다음 식을 얻고,

 

t > 0이므로 양변을 t로 나누어 다음 식을 얻을 수 있다.

 

응용편집

  • 마르코프 부등식은 체비쇼프 부등식을 증명하는 데 사용한다.
  • X가 음이 아닌 정수값을 갖는 확률 변수라면(조합론에서 이런 경우가 많다), a = 1일 때 마르코프 부등식은   꼴이 된다. X가 어떤 집합의 크기라면 이 부등식을 써서 그 집합이 비어 있지 않다는 것을 증명할 수 있다. 존재성을 증명할 때 쓴다.