마르코프 부등식

확률론에서, 마르코프 부등식(영어: Markov’s inequality)은 음이 아닌 확률 변수가 어떤 양의 실수 이상일 확률상계를 제시하는 부등식이다. 확률과 기댓값의 관계를 설명하고, 확률 변수의 누적 분포 함수에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.

정의편집

측도 공간   위의 가측 함수  가 주어졌다고 하자. 마르코프 부등식에 따르면, 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:83, §3.1, Theorem 3.1.1

 

특히, 확률 공간   위의 확률 변수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

여기서  기댓값이다.

증명 (측도론의 언어):

 

증명 (확률론의 언어):

 

따름정리편집

크라메르 부등식편집

확률 공간   위의 확률 변수  증가 가측 함수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:84, §3.1, Corollary 3.1.4

 

증명:

 

만약   ( )일 경우, 이는 다음과 같다.[1]:83, §3.1, Corollary 3.1.2

 

만약   ( )일 경우, 이는 다음과 같다. 이를 크라메르 부등식(영어: Cramer’s inequality)이라고 한다.[1]:84, §3.1, Corollary 3.1.5

 

여기서  모멘트 생성 함수이다.

체비쇼프 부등식편집

확률 공간   위의 적분 가능 확률 변수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

여기서  분산이다.

역사편집

마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 안드레이 마르코프의 이름에서 따온 것이다. 그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 파프누티 체비쇼프가 먼저 발견하였다.

참고 문헌편집

  1. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 

외부 링크편집