n
{\displaystyle n}
차원 매끄러운 다양체 위에
k
{\displaystyle k}
차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건 은 다음과 같다.
k
+
1
≤
n
≤
(
n
k
)
{\displaystyle k+1\leq n\leq {\binom {n}{k}}}
여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은
k
+
1
{\displaystyle k+1}
차 미분 형식이 존재할 필요 조건 이며, 둘째 부등식은
⋀
k
T
x
∗
M
{\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M}
의 차원이
T
x
M
{\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}
의 차원보다 작지 않을 조건이다.
일반적으로,
n
≥
6
{\displaystyle n\geq 6}
차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜
n
−
4
{\displaystyle n-4}
차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.[1] :Remark 2.7
멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L∞ -대수
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k
{\displaystyle k}
차 멀티심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
위의 해밀토니언 미분 형식 (영어 : Hamiltonian differential form )은 다음 조건을 만족시키는
k
−
1
{\displaystyle k-1}
차 미분 형식
α
∈
Ω
k
−
1
(
M
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k-1}(M)}
이다.
∃
X
∈
Vect
(
M
)
:
d
α
=
X
⌟
ω
{\displaystyle \exists X\in \operatorname {Vect} (M)\colon \mathrm {d} \alpha =X\lrcorner \omega }
그 공간을
Ω
Ham
k
−
1
(
M
)
{\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M)}
이라고 하자.
이제, 등급 벡터 공간
L
=
⨁
i
=
0
n
−
1
L
i
{\displaystyle L=\bigoplus _{i=0}^{n-1}L_{i}}
L
0
=
Ω
Ham
k
−
1
(
M
)
{\displaystyle L_{0}=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M)}
L
i
=
Ω
k
−
1
−
i
(
M
)
(
i
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle L_{i}=\Omega ^{k-1-i}(M)\qquad (i\in \{1,2,\dotsc ,n-1\}}
위에 다음과 같은 L∞-대수 의 구조를 줄 수 있다.[1] :Theorem 3.14
[
α
]
=
d
α
∀
α
∈
L
,
deg
α
>
0
{\displaystyle [\alpha ]=\mathrm {d} \alpha \qquad \forall \alpha \in L,\;\deg \alpha >0}
[
α
1
,
…
,
α
p
]
=
(
−
)
1
+
⌈
p
/
2
⌉
(
X
1
∧
⋯
∧
X
p
)
⌟
ω
(
α
1
,
…
,
α
k
∈
Ω
Ham
k
−
1
(
M
)
,
∀
i
:
d
α
i
=
X
i
⌟
ω
)
{\displaystyle [\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{p}]=(-)^{1+\lceil p/2\rceil }(X_{1}\wedge \dotsb \wedge X_{p})\lrcorner \omega \qquad (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k}\in \Omega _{\operatorname {Ham} }^{k-1}(M),\;\forall i\colon \mathrm {d} \alpha _{i}=X_{i}\lrcorner \omega )}
0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체 와 같다.
1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체 의 개념과 같다.
n
{\displaystyle n}
차원
n
−
1
{\displaystyle n-1}
차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식 이 주어진
n
{\displaystyle n}
차원 매끄러운 다양체 의 개념과 같다.
콤팩트 단순 리 군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 3차 미분 형식 이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수 는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.
G
{\displaystyle G}
의 실수 리 대수 를
g
=
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)}
라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수(영어 : string algebra )
s
t
r
i
n
g
(
g
)
=
g
⊕
R
[
1
]
{\displaystyle {\mathfrak {string}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {R} [1]}
[
x
,
y
,
z
]
=
μ
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
[
1
]
∀
x
,
y
,
z
∈
g
{\displaystyle [x,y,z]=\mu (x,y,z)\in \mathbb {R} [1]\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
를 정의할 수 있다.
2-멀티심플렉틱 다양체
G
{\displaystyle G}
에 대응되는 L₂-대수
L
(
G
)
=
Ω
Ham
1
(
G
)
⊕
Ω
0
(
G
)
[
1
]
{\displaystyle L(G)=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)\oplus \Omega ^{0}(G)[1]}
를 생각하자.
G
{\displaystyle G}
는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용 하며, 이에 대한 불변 L₂-대수
L
(
G
)
G
=
Ω
Ham
1
(
G
)
G
⊕
Ω
0
(
G
)
G
[
1
]
{\displaystyle L(G)^{G}=\Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)^{G}\oplus \Omega ^{0}(G)^{G}[1]}
를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로
Ω
Ham
1
(
G
)
G
≅
g
∗
≅
g
{\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ham} }^{1}(G)^{G}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}}
Ω
0
(
G
)
G
≅
R
{\displaystyle \Omega ^{0}(G)^{G}\cong \mathbb {R} }
이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.
특수 홀로노미
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홀로노미 가 리 군 G₂ 인 7차원 리만 다양체 는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.
초켈러 다양체 의 세 심플렉틱 구조
ω
1
,
ω
2
,
ω
3
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}
이 주어졌을 때
ω
1
∧
ω
1
+
ω
2
∧
ω
2
+
ω
3
∧
ω
3
{\displaystyle \omega _{1}\wedge \omega _{1}+\omega _{2}\wedge \omega _{2}+\omega _{3}\wedge \omega _{3}}
은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.[1] :Example 2.11
공변접다발의 외대수
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매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
이 주어졌을 때, 그 공변접다발 의
k
{\displaystyle k}
차 외대수
⋀
k
T
∗
M
{\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M}
을 생각하자. 그 위에는 표준적인
k
{\displaystyle k}
차 미분 형식
θ
∈
Ω
k
(
⋀
k
T
x
∗
M
)
{\displaystyle \theta \in \Omega ^{k}\left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)}
θ
|
(
x
,
p
)
=
p
i
1
…
i
k
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
(
x
∈
M
,
p
∈
⋀
k
T
x
∗
M
)
{\displaystyle \theta |_{(x,p)}=p_{i_{1}\dotso i_{k}}\,\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)}
이 존재한다. 그 외미분
ω
=
d
θ
∈
Ω
k
+
1
(
⋀
k
T
x
∗
M
)
{\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta \in \Omega ^{k+1}\left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)}
ω
|
(
x
,
p
)
=
d
p
i
1
…
i
k
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
(
x
∈
M
,
p
∈
⋀
k
T
x
∗
M
)
{\displaystyle \omega |_{(x,p)}=\mathrm {d} p_{i_{1}\dotso i_{k}}\,\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M\right)}
은
n
+
(
n
k
)
{\displaystyle n+\textstyle {\binom {n}{k}}}
차원 매끄러운 다양체
⋀
k
T
∗
M
{\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M}
위의
k
{\displaystyle k}
차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.[1] :Example 2.10
시그마 모형
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다음이 주어졌다고 하자.
m
{\displaystyle m}
차원 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
k
{\displaystyle k}
차원 매끄러운 다양체
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 부피 형식
ω
∈
Ω
k
(
Σ
)
{\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(\Sigma )}
그렇다면 벡터 다발
T
Σ
⊗
M
×
Σ
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} \Sigma \otimes _{M\times \Sigma }\mathrm {T} ^{*}M}
의 전체 공간의 국소 좌표를
(
x
μ
,
ϕ
i
,
π
i
μ
)
(
x
∈
Σ
,
ϕ
∈
M
,
π
∈
T
x
Σ
⊗
T
x
∗
M
)
{\displaystyle (x^{\mu },\phi ^{i},\pi _{i}^{\mu })\qquad (x\in \Sigma ,\;\phi \in M,\;\pi \in \mathrm {T} _{x}\Sigma \otimes \mathrm {T} _{x}^{*}M)}
위에 다음과 같은 구조를 생각하자.
θ
=
π
i
μ
d
ϕ
i
∧
∂
∂
x
μ
⌟
ω
{\displaystyle \theta =\pi _{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner \omega }
이는
k
{\displaystyle k}
차 미분 형식 을 이룬다. 그 외미분
d
θ
=
d
π
i
μ
d
ϕ
i
∧
∂
∂
x
μ
⌟
ω
{\displaystyle \mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \pi _{i}^{\mu }\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\lrcorner \omega }
은
k
+
1
{\displaystyle k+1}
차 미분 형식이며, 만약
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2}
일 경우
k
{\displaystyle k}
차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.
이 구성은
Σ
→
M
{\displaystyle \Sigma \to M}
시그마 모형 의 공변 위상 공간(영어 : covariant phase space )으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표
π
i
μ
{\displaystyle \pi _{i}^{\mu }}
는 일반화 운동량에 해당한다.
↑ 가 나 다 라 마 Rogers, Christopher Lee (2011년 6월). 《Higher symplectic geometry》 (영어). 박사 학위 논문. University of California Riverside. arXiv :1106.4068 .
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