가 복소 상반평면이라고 하자. 모듈러 람다 함수 는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 이라면,
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이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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바이어슈트라스 타원함수 는 타원 곡선 에서 리만 구면 으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점
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에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.
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이에 따라, 는 비조화군(anharmonic group) 의 작용에 따라 변환한다.
모듈러 람다 함수 는 합동 부분군 에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 모든 에 대하여, 다음이 성립한다.
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이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 와 리만 구면 사이의 구체적인 동형사상을 정의한다.
모듈러 군 에 대해서는 다음과 같이 변환한다.
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에 대한 급수 전개는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A115977)
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- Chandrasekharan, K. (1985), 《Elliptic Functions》, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 281, Springer, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
- Rankin, Robert A. (1977), 《Modular Forms and Functions》 (영어), Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020