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모듈러 람다 함수

수학에서, 모듈러 람다 함수(영어: modular lambda function)는 합동 부분군 에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 이 함수를 통해, 타원 곡선리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다.

정의편집

 가 복소 상반평면이라고 하자. 모듈러 람다 함수  바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약  이라면,

 

이다. 또한, 야코비 세타 함수데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

성질편집

바이어슈트라스 타원함수  타원 곡선 에서 리만 구면  으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점

 
 
 
 

에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.

 

이에 따라,  는 비조화군(anharmonic group)  의 작용에 따라 변환한다.

함수 방정식편집

모듈러 람다 함수  합동 부분군  에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 모든  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면모듈러 곡선  리만 구면   사이의 구체적인 동형사상을 정의한다. 모듈러 군  에 대해서는 다음과 같이 변환한다.

 
 

급수 전개편집

 에 대한 급수 전개는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A115977)

 

참고 문헌편집

외부 링크편집