미분학적 공간

기하학에서, 미분학적 공간(微分學的空間, 영어: diffeological space 디피올로지컬 스페이스[*])은 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이다.[1] 미분학적 공간과 매끄러운 다양체 사이의 관계는 위상 공간다양체 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다.

정의편집

집합   위의 미분학적 구조(微分學的構造, 영어: diffeology 디피올로지[*])  는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.

  •  에서,  자연수이며,   차원 유클리드 공간열린집합이며,  함수이다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 유클리드 공간  열린집합   및 임의의 원소  에 대하여,   값의 상수 함수   의 원소이다.
  • 임의의 유클리드 공간  열린집합   및 임의의 함수  에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면,  이다.
    임의의  에 대하여,   열린 근방  가 존재한다.
  • 임의의   및 임의의   및 임의의 매끄러운 함수  에 대하여,  이다.

미분학적 구조를 갖춘 집합을 미분학적 공간이라고 한다.

두 미분학적 공간  ,   사이의 매끄러운 함수  는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  • 임의의  에 대하여,  이다.

이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다.

성질편집

미분학적 공간   위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합필요 충분 조건은 다음과 같다.

 

여기서   열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수  들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다.

미분학적 공간의 범주준토포스를 이룬다.

연산편집

미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

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모든  차원 매끄러운 다양체  은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는  의 열린집합에서  으로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 프레셰 다양체는 미분학적 공간이다.

1차원 유클리드 공간  의 몫

 

을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약  유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.

역사편집

 
미분학적 공간의 개념을 발견한 장마리 수리오

미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오(프랑스어: Jean-Marie Souriau, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다.[2] ‘미분학적 공간’(프랑스어: espace difféologique 에스파스 디페올로지크[*])이라는 이름은 프랑스어: difféomorphisme 디페오모르피즘[*](미분 동형 사상)과 프랑스어: espace topologique 에스파스 토폴로지크[*](위상 공간)의 합성어이다.

참고 문헌편집

  1. Iglesias-Zemmour, Patrick (2013). 《Diffeology》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 185. American Mathematical Society. 
  2. Souriau, Jean-Marie (1980). 〈Groupes différentiels〉. 《Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics. Proceedings of the Conferences Held at Aix-en-Provence, September 3–7, 1979 and Salamanca, September 10–14, 1979》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 836. Springer-Verlag. 91–128쪽. doi:10.1007/BFb0089728. 

외부 링크편집