바이어슈트라스 제타 함수 (Weierstrass Zeta Function)
ζ
(
z
;
g
2
,
g
3
)
{\displaystyle \zeta (z;g_{2},g_{3})}
는
d
ζ
(
z
;
g
2
,
g
3
)
d
z
=
−
℘
(
z
;
g
2
,
g
3
)
{\displaystyle {{d\zeta (z;g_{2},g_{3})} \over {dz}}=-\wp (z;g_{2},g_{3})}
로 정의될수있는 준 주기 함수 이다.[1] 이를 무한 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있다:
ζ
(
z
;
Λ
)
=
σ
′
(
z
;
Λ
)
σ
(
z
;
Λ
)
=
1
z
+
∑
w
∈
Λ
∗
(
1
z
−
w
+
1
w
+
z
w
2
)
{\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right)}
이를 종종 아이젠슈타인 급수 들이 들어간 무한 급수로 나타내기도 한다:
ζ
(
z
;
Λ
)
=
1
z
−
∑
k
=
1
∞
G
2
k
+
2
(
Λ
)
z
2
k
+
1
{\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}
여기서
G
2
k
+
2
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}
는 가중치 2k + 2인 아이젠슈타인 급수 이다.
복소평면 상에서 바이어슈트라스 제타 함수의 색 그래프 바이어슈트라스 제타 함수는 바이어슈트라스 타원 함수 (Weierstrass Elliptic Function)와 주되게 관련되어 나타나는 특수 함수 로,
또한 특히 다른 바이어슈트라스 함수들(바이어슈트라스 함수 패밀리)과의 연관성을 복소변수들의 정보로 일관되게 보여준다.
카를 바이어슈트라스 의 이름에서 유래한 함수이다. 바이어슈트라스 제타 함수는 정수론 과 밀접한 연관이 있는 리만 제타 함수 와 혼동되어서는 안 된다.
℘
(
z
;
g
2
,
g
3
)
{\displaystyle \wp (z;g_{2},g_{3})}
은 바이어슈트라스 타원 함수
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}
를
g
2
,
g
3
{\displaystyle g_{2},g_{3}}
의 불변량 (invariant)으로 취한 값이다.
이러한 홀함수 (odd function)의 성질을 갖는
ζ
(
z
)
{\displaystyle \zeta (z)}
에서
℘
(
z
+
2
ω
1
)
=
℘
(
z
)
{\displaystyle \wp (z+2\omega _{1})=\wp (z)}
로 부터
ζ
(
z
+
2
ω
1
)
=
ζ
(
z
)
+
2
η
1
{\displaystyle \zeta (z+2\omega _{1})=\zeta (z)+2\eta _{1}}
이다.
z
=
−
ω
1
{\displaystyle z=-\omega _{1}}
를 예약하면,
ζ
(
−
ω
1
)
+
2
η
1
=
−
ζ
(
ω
1
)
+
2
η
1
{\displaystyle \zeta (-\omega _{1})+2\eta _{1}=-\zeta (\omega _{1})+2\eta _{1}}
η
1
=
ζ
(
ω
1
)
{\displaystyle \eta _{1}=\zeta (\omega _{1})}
η
2
=
ζ
(
ω
2
)
{\displaystyle \eta _{2}=\zeta (\omega _{2})}
η
1
ω
2
−
η
2
ω
1
=
1
2
π
i
{\displaystyle \eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}={1 \over 2}\pi i\qquad }
휘태커와 왓슨 (Whittaker and Watson, 1990)[2]
η
{\displaystyle \eta \;}
는 바이어슈트라스 에타 함수 (Weierstrass Eta Function)
바이어슈트라스 에타 함수는 데데킨트 에타 함수 와 혼동해서는 안 된다. 그리고 디리클레 에타 함수 와도 다르니 주의해야 한다.
또한,
ζ
(
z
;
g
2
,
g
3
)
=
d
ln
σ
(
z
;
g
2
,
g
3
)
d
z
{\displaystyle \zeta (z;g_{2},g_{3})={{d\ln \sigma (z;g_{2},g_{3})} \over {dz}}\qquad }
σ
(
z
;
g
2
,
g
3
)
{\displaystyle \sigma (z;g_{2},g_{3})}
는
σ
(
z
;
ω
2
,
ω
3
)
{\displaystyle \sigma (z;\omega _{2},\omega _{3})}
의 바이어슈트라스 시그마 함수
바이어슈트라스 함수 패밀리(family)
편집
↑ http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassZetaFunction.html
↑ Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Quasi-Periodic Functions. The Function zeta(z)" and "The Quasi-Periodicity of the Function zeta(z)." §20.4 and 20.41 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 445-447 and 449-451, 1990