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j-불변량 의 그래프

수학에서, -불변량(j-不變量, 영어: j-invariant)은 모듈러 함수의 하나다. -불변량의 모든 유리 함수 또한 모듈러 함수이며, 모든 모듈러 함수는 -불변량의 유리 함수로 나타낼 수 있다.

정의편집

상반평면  에 대하여, 다음과 같은 함수들을 정의하자.

 
 

그렇다면 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

 

이를  -불변량이라고 한다. 일부 문헌에서는   대신  을 사용하기도 한다.

특별한 값편집

특별한 점에서  -불변량의 값은 다음과 같다.

τ i exp(2πi/3) exp(2πi/6) i            
j(τ) 1728 0 0 −153 −323 −963 −9603 −52803 −6403203

이 가운데, 7, 11, 19, 43, 67은 헤그너 수이다.

헤그너 수와 라마누잔 상수편집

 헤그너 수라면  정수이다. 따라서, 그 푸리에 급수에 따라서

 

이다. 여기서  가 크다면

 

의 절댓값은 매우 작다. 따라서 푸리에 급수의 고차항을 버리고, 다음과 같은 근사식을 쓸 수 있다.

 

즉,  는 정수에 매우 가까운 초월수이다. 가장 큰 헤그너 수  을 사용하면

 

이다. 이는 스리니바사 라마누잔이 발견하였고, 라마누잔 수(영어: Ramanujan number)라고 한다.

푸리에 급수와 가공할 헛소리편집

j-불변량의 푸리에 급수 를 사용하여 적으면 다음과 같다 (OEIS의 수열 A000521)

 

이 계수들은 가장 큰 예외적 유한 단순군괴물군기약 표현들의 차원과 관계있다.

 

이 관계를 가공할 헛소리(영어: monstrous moonshine 몬스트러스 문샤인[*])라고 한다. 여기서 영어: monstrous(가공할, 말도 안 되는)는 괴물 군(영어: monster group)에 대한 말장난이다. 이 놀라운 관계는 원래 존 매케이(영어: John McKay, 1939–)가 1970년대에 최초로 발견하였고, 존 호턴 콘웨이가 이러한 이름을 붙였다. 이 사실은 리처드 보처즈리치 격자(Leech lattice)에 축소화보손 끈 이론을 사용해 설명하였고, 이 공로로 필즈상을 수상하였다.

함께보기편집

참고 문헌편집

외부 링크편집