집합론에서 반복 강제법(反復強制法, 영어: iterated forcing)은 강제법 모형의 구성을 초한 번 반복하는 과정이다.[1]:251–303, Chapter VIII[2]:267–283, Chapter 16[3][4]:§7

이에 대하여 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다.

반복 강제법의 아이디어는 포괄적 확장 과정을 순서수 에 대하여 번 반복하여, 모형들의 사슬 []를 얻는 것이다. […] 이는 대략 2단계 반복과 극한 반복의 두 부분으로 나뉜다. 2번 반복은 […] 자명한 것처럼 보인다. […] 그러나 극한 반복의 경우 문제가 발생한다. 에 대하여 를 구성한 뒤, 는 무엇이어야 할까? 으로 놓을 수 없는 이유는 [포괄적 필터들의 집합] 이 보통 이 합집합의 원소가 아니기 때문이다. […] 이 문제를 해결하기 위하여, 2단계 반복을 더 어렵게 구성하자. 즉, 2단계 반복을 어떻게 한 단계로 할 수 있는지 설명할 것이다. […] 이 방법에서는 모형들의 사슬을 구성하는 대신, [원순서 집합들을] 속에서 구성한다. 그 뒤에는 (원한다면) […] 모형들의 사슬을 구성할 수 있으나, 이는 그리 중요하지 않다.

The idea behind iterated forcing is to repeat the generic extension process times, for some ordinal , to obtain a chain of models []. […] The discussion of iterated forcing breaks into two parts: two stage iteration and limit iteration. Two stage iteration […] at first sight seems trivial. […] Limit iteration, on the other hand, seems to present a problem. Once we have for , what is ? We cannot just set , since this will usually not contain [the set of generic filters] […]. […] To solve these problems, we go back to two stage iteration and make it harder. We shall show how to do a two stage iteration in one step. […] [I]n this approach, we do not begin by constructing a chain of models. Rather, our efforts are concentrated on constructing the [posets] in . Once we are done, we may […] obtain a chain of model after all, but this is of secondary importance.

 
[1]:251–252

정의

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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  속의   단계 반복 강제법 구조( -段階反復強制法構造, 영어:  -step iterated forcing strucure in  )은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:273, Definition VII.5.8[2]:280, Definition 16.29

  •  의 원소인 집합  
  •  의 원소인  .  는 유일한 최소 원소를 갖는 원순서 집합 -이름이다.
  •  에 대하여,   의 유일한 최소 원소이다.
  • 집합족  . 또한,    속의 순서 아이디얼을 이룬다.
  •   의 모든 유한 부분 집합을 포함한다.

여기서, 다음과 같은 함수열을 정의하자.

 
 

그렇다면 다음과 같은 부분 순서 집합들의 열  초한 귀납법으로 정의할 수 있다.

 
 

임의의  에 대하여, 함수  를 다음과 같이 정의하자.

 
 

만약  유한 집합이라면, 이를 유한 지지 반복 강제법 구조(有限支持反復強制法, 영어: iterated forcing structure with finite support)이라고 한다.

만약  가산 집합이라면, 이를 가산 지지 반복 강제법 구조(可算支持反復強制法, 영어: iterated forcing structure with countable support)이라고 한다.

성질

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다음이 성립한다.

  • 임의의   에 대하여,  이다.
  • 임의의   에 대하여,  이다.

반복 강제법 모형

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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • ZFC표준 추이적 모형  
  •   지지   단계 반복 강제법 구조  
  •   -포괄적 순서 아이디얼  

이 경우, 임의의  에 대하여

 

를 정의하자. (특히  이다.) 그렇다면, 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,

 

이다.

역사

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1971년에 로버트 솔로베이스탠리 테넨바움수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.[5][2]:282

참고 문헌

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  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 16일에 확인함. 
  2. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002. 
  3. Baumgartner, James Earl (1983). 〈Iterated forcing〉. Mathias, A. R. D. 《Surveys in set theory》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 87. Cambridge University Press. 1–59쪽. doi:10.1017/CBO9780511758867.002. ISBN 978-052127733-4. Zbl 0524.03040. 
  4. Cummings, James (2010). 〈Iterated forcing and elementary embeddings〉 (PDF). Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro. 《Handbook of set theory》 (영어). Springer-Verlag. 775–883쪽. doi:10.1007/978-1-4020-5764-9_13. ISBN 978-1-4020-4843-2. Zbl 1198.03060. 
  5. Solovay, Robert M.; Tennenbaum, Stanley (1971). “Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 94 (2): 201–245. doi:10.2307/1970860. JSTOR 1970860. MR 0294139. Zbl 0244.02023.