포괄적 필터

순서론에서, 포괄적 필터(包括的filter, 영어: generic filter)는 모든 공시작 집합과 겹치는 필터이다. 이 개념은 강제법에 응용된다.

정의편집

원순서 집합  가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터   포괄적 필터(영어: generic filter)라 부른다.[1]:202, Definition 14.1

  • 모든 공시작 집합  에 대하여,  

집합론에서는 공시작 집합을 ‘조밀 집합(dense set)’이라고 부르기도 한다.

위 정의를 일반화해서   속의 집합족  가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터   -포괄적 필터(영어:  -generic filter)라고 부른다.

  • 모든  에 대하여,  

마찬가지로, 원순서 집합  에 대해서 다음 조건을 만족시키는 순서 아이디얼  포괄적 순서 아이디얼(영어: generic order ideal)이라 부른다.

  • 모든 공종 집합  에 대하여,  

마찬가지로  -포괄적 순서 아이디얼을 정의할 수 있다.

성질편집

라시오바-시코르스키 보조정리편집

ZFC를 가정하면 다음이 성립한다:

라시오바-시코르스키 보조정리

원순서 집합  와 가산 개의 공시작 집합들로 이루어진 집합족  가 주어졌다고 하자. 그렇다면  -포괄적 필터  가 존재한다.

또한, 임의의 원소  에 대해서   -포괄적 필터  가 존재한다.

라시오바-시코르스키 보조정리의 증명:

 라고 하자. 그렇다면, 원소열  을 다음과 같이 정의하자.

  •  
  •  가 주어졌을 때,  공시작 집합이므로,   선택 공리를 사용하여 고른다.

그렇다면

 

 -일반 필터이다. (여기서  상폐포를 뜻한다.)

응용편집

흔히, 강제법에서는 집합론표준 추이적 모형  을 다루는데, 이 경우 강제법 원순서 집합   속의,  의 원소인 공시작 집합들의 집합

 

에 대한  -포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.[1]:202, Chapter 14

역사편집

라시오바-시코르스키 보조정리는 1950년에 헬레나 라시오바(폴란드어판)로만 시코르스키(폴란드어판)가 증명하였다. 그들은 이를 이용해 괴델의 완전성 정리를 집합론적인 접근법으로 증명했다.[2]

참고 문헌편집

  1. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002. 
  2. Rasiowa, Helena; Sikorski, Roman (1950). “A proof of the completeness theorem of Gödel”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 37: 193–200.