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순서론에서, 포괄적 필터(包括的filter, 영어: generic filter)는 모든 공시작 집합과 겹치는 필터이다. 이 개념은 강제법에 응용된다.

정의편집

원순서 집합  포괄적 필터(영어: generic filter)는 다음 조건을 만족시키는 필터  이다.[1]:202, Definition 14.1

  • 모든 공시작 집합  에 대하여,  

(강제법에서, 공시작 집합은 간혹 "조밀 집합"이라고 불리기도 한다.) 보다 일반적으로, 만약    속의 집합족이라면,  -포괄적 필터(영어:  -generic filter)은 다음 조건을 만족시키는 필터  이다.

  • 모든  에 대하여,  

마찬가지로, 원순서 집합  포괄적 순서 아이디얼(영어: generic order ideal)는 다음 조건을 만족시키는 순서 아이디얼  이다.

  • 모든 공종 집합  에 대하여,  

마찬가지로  -일반 순서 아이디얼을 정의할 수 있다.

성질편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 원순서 집합  
  • 원소  
  • 가산 개의 공시작 집합들의 족  

그렇다면, 라시오바-시코르스키 정리(영어: Rasiowa–Sikorski theorem)에 따르면,   -포괄적 필터  가 존재한다.

증명:

 라고 하자. 그렇다면, 원소열  을 다음과 같이 정의하자.

  •  
  •  가 주어졌을 때,  공시작 집합이므로,   선택 공리를 사용하여 고른다.

그렇다면

 

 -일반 필터이다. (여기서  상폐포를 뜻한다.)

응용편집

흔히, 강제법에서는 집합론표준 추이적 모형  을 다루는데, 이 경우 강제법 원순서 집합   속의,  의 원소인 공시작 집합들의 집합

 

에 대한  -포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.[1]:202, Chapter 14

역사편집

라시오바-시코르스키 정리는 1950년에 헬레나 라시오바(폴란드어: Helena Rasiowa)와 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski)가 증명하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002. doi:10.1007/3-540-44761-X. 
  2. Rasiowa, Helena; Sikorski, Roman (1950). “A proof of the completeness theorem of Gödel”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 37: 193–200.