편미분 (偏微分, 영어 : partial derivative )은 다변수 함수 의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수 로 간주하여 미분하는 것이다. 기호는 ∂ 으로, 1770년 니콜라 드 콩도르세 가 편차분 기호로서 사용한 이후로 편미분을 나타내는 기호로 사용되고 있으며 이후 1786년에 아드리앵마리 르장드르 에 의해 소개되었으나 쓰이지 않다가, 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비 가 다시 이 기호를 도입하였다.[ 1] [ 2]
f
x
′
,
f
x
,
∂
x
f
,
∂
∂
x
f
,
∂
f
∂
x
{\displaystyle f'_{x},\ f_{x},\ \partial _{x}f,{\frac {\partial }{\partial x}}f,\ {\frac {\partial f}{\partial x}}}
는 변수
x
{\displaystyle x}
f
(
x
,
y
,
…
)
{\displaystyle f(x,y,\ldots )}
f
x
′
(
x
,
y
,
…
)
,
∂
f
∂
x
(
x
,
y
,
…
)
{\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots )}
등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.
z = x 2 + xy + y 2 의 그래프. y = 1로 놓으면, xz -평면과 평행하는 빨간색 곡선을 얻으며, 점 (1, 1)에서 곡선의 접선은 역시 xz -평면과 평행한다. 위 그래프의 평면 y = 1에 의한 절단면. 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3이다. 하나 이상의 변수를 갖는 함수
f
{\displaystyle f}
z
=
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
x
y
+
y
2
{\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}
이 함수의 그래프 는 유클리드 공간 속 곡면 을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선 이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기 를 구하는 것이다.
x
z
{\displaystyle xz}
y
z
{\displaystyle yz}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
z
{\displaystyle xz}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
미분 을 구하면, 점
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
∂
z
∂
x
=
2
x
+
y
{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y}
대입 을 통해, 점
(
1
,
1
)
{\displaystyle (1,1)}
x
z
{\displaystyle xz}
(
1
,
1
)
{\displaystyle (1,1)}
∂
z
∂
x
(
1
,
1
)
=
3
{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}(1,1)=3}
즉, 점
(
1
,
1
)
{\displaystyle (1,1)}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
함수
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
f
(
y
)
(
x
)
=
x
2
+
x
y
+
y
2
{\displaystyle f_{(y)}(x)=x^{2}+xy+y^{2}}
에 대응한다. 만약
y
{\displaystyle y}
y
=
a
{\displaystyle y=a}
f
{\displaystyle f}
f
(
a
)
(
x
)
=
x
2
+
a
x
+
a
2
{\displaystyle f_{(a)}(x)=x^{2}+ax+a^{2}}
를 결정한다.
a
{\displaystyle a}
f
a
{\displaystyle f_{a}}
x
{\displaystyle x}
f
(
a
)
′
(
x
)
=
2
x
+
a
{\displaystyle f_{(a)}'(x)=2x+a}
와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든
x
{\displaystyle x}
y
=
a
{\displaystyle y=a}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
=
2
x
+
y
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y}
을 얻을 수 있다. 이는 함수
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
편미분 이다.
연결 열린집합
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
D
→
R
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
a
∈
D
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D}
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
f
{\displaystyle f}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
편미분 은 다음과 같은 극한 이다.
∂
f
∂
x
i
(
a
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
1
,
…
,
a
i
−
1
,
a
i
+
h
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
)
−
f
(
a
1
,
…
,
a
i
−
1
,
a
i
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
)
h
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}{h}}}
편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.
∂
f
∂
x
i
(
a
)
=
d
f
(
i
)
d
x
(
a
i
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})={\frac {df_{(i)}}{dx}}(a_{i})}
∂
f
∂
x
i
(
a
)
=
L
⟺
L
=
∂
f
∂
e
i
(
a
)
=
−
∂
f
∂
(
−
e
i
)
(
a
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}({\boldsymbol {a}})=L\iff L={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {e}}_{i}}}({\boldsymbol {a}})=-{\frac {\partial f}{\partial (-{\boldsymbol {e}}_{i})}}({\boldsymbol {a}})}
여기서
f
(
i
)
(
x
)
=
f
(
a
1
,
…
,
a
i
−
1
,
x
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle f_{(i)}(x)=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots ,a_{n})}
∂
f
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}}
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}
i
{\displaystyle i}
어떤
a
∈
D
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D}
f
{\displaystyle f}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
f
{\displaystyle f}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
편미분 가능 하다고 한다. 모든
x
∈
D
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in D}
f
{\displaystyle f}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
f
{\displaystyle f}
D
{\displaystyle D}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
편미분 가능 하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이
D
{\displaystyle D}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∂
f
∂
x
i
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}
로 표기한다.
(어떤 점 또는 모든 점에서) 함수
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
기울기 는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.
방향도함수 (方向導函數, 영어 : directional derivative )는 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.
다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.
연결 열린집합
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
D
→
R
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
유클리드 공간 속 점
a
∈
D
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in D}
유클리드 공간 속 단위 벡터
v
=
(
cos
θ
1
,
…
,
cos
θ
n
)
∈
R
n
(
|
v
|
=
1
)
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta _{1},\ldots ,\cos \theta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}\qquad (|{\boldsymbol {v}}|=1)}
이를 "방향"이라고 부르자. 그렇다면, 점
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
f
{\displaystyle f}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
방향도함수 는 다음과 같은 극한이다.
∂
f
∂
v
=
lim
t
→
0
+
0
f
(
a
1
+
t
cos
θ
1
,
…
,
a
n
+
t
cos
θ
n
)
−
f
(
a
1
,
…
,
a
n
)
t
=
lim
t
→
0
+
0
f
(
a
+
t
v
)
−
f
(
a
)
t
=
lim
E
∋
x
→
a
f
(
x
)
−
f
(
a
)
(
x
−
a
)
⋅
v
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}&=\lim _{t\to 0+0}{\frac {f(a_{1}+t\cos \theta _{1},\ldots ,a_{n}+t\cos \theta _{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{t}}\\&=\lim _{t\to 0+0}{\frac {f({\boldsymbol {a}}+t{\boldsymbol {v}})-f({\boldsymbol {a}})}{t}}\\&=\lim _{E\ni {\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})}{({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {v}}}}\end{aligned}}}
여기서
E
=
{
a
+
t
v
:
0
<
t
<
t
′
}
⊆
D
{\displaystyle E=\{{\boldsymbol {a}}+t{\boldsymbol {v}}\colon 0<t<t'\}\subseteq D}
이다.
함수
f
{\displaystyle f}
고계 편미분 (高階偏微分, 영어 : higher order partial derivative )은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다.
예를 들어, 독립 변수
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
f
:
R
3
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }
x
{\displaystyle x}
∂
f
∂
x
=
f
x
=
∂
x
f
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f}
이를 다시
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
∂
2
f
∂
x
2
=
f
x
x
=
∂
x
x
f
≡
∂
∂
x
∂
∂
x
f
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f\equiv {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f}
∂
2
f
∂
y
∂
x
=
f
x
y
=
∂
y
x
f
≡
∂
∂
y
∂
∂
x
f
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}=\partial _{yx}f\equiv {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f}
비슷하게,
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
일반적으로, 연결 열린집합
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
D
→
R
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
x
a
{\displaystyle x_{a}}
k
a
{\displaystyle k_{a}}
x
b
{\displaystyle x_{b}}
k
b
{\displaystyle k_{b}}
x
c
{\displaystyle x_{c}}
k
c
{\displaystyle k_{c}}
k
a
+
k
b
+
⋯
+
k
c
{\displaystyle k_{a}+k_{b}+\cdots +k_{c}}
∂
k
a
+
k
b
+
⋯
+
k
c
f
∂
x
c
k
c
⋯
∂
x
b
k
b
∂
x
a
k
a
≡
∂
k
c
∂
x
c
k
c
⋯
∂
k
b
∂
x
b
k
b
∂
k
a
∂
x
a
k
a
f
{\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{a}+k_{b}+\cdots +k_{c}}f}{\partial x_{c}^{k_{c}}\cdots \partial x_{b}^{k_{b}}\partial x_{a}^{k_{a}}}}\equiv {\frac {\partial ^{k_{c}}}{\partial x_{c}^{k_{c}}}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{b}}}{\partial x_{b}^{k_{b}}}}{\frac {\partial ^{k_{a}}}{\partial x_{a}^{k_{a}}}}f}
용어 혼합 편미분 (混合偏微分, 영어 : mixed derivative )은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능 하며, 이 경우 편미분은 다중지표 를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
(
∂
∂
x
)
i
f
≡
(
∂
∂
x
1
)
i
1
(
∂
∂
x
2
)
i
2
⋯
(
∂
∂
x
n
)
i
n
f
{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right)^{\boldsymbol {i}}f\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)^{i_{1}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)^{i_{2}}\cdots \left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{i_{n}}f}
물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다.
d
f
=
∂
f
∂
x
1
d
x
1
+
∂
f
∂
x
2
d
x
2
+
⋯
+
∂
f
∂
x
n
d
x
n
=
∇
f
⋅
d
x
{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}=\nabla f\cdot d{\boldsymbol {x}}}
∂
f
∂
v
=
∂
f
∂
x
1
cos
θ
1
+
∂
f
∂
x
2
cos
θ
2
+
⋯
+
∂
f
∂
x
n
cos
θ
n
=
∇
f
⋅
v
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\cos \theta _{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\cos \theta _{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\cos \theta _{n}=\nabla f\cdot {\boldsymbol {v}}}
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수 라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능 하다고 한다.
편미분 교환 법칙 에 따르면, 연결 열린집합
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
D
→
R
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
{\displaystyle f}
C
2
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
∂
2
f
∂
x
∂
y
=
∂
2
f
∂
y
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}
S
(
Δ
x
,
Δ
y
)
=
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
−
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
+
Δ
y
)
+
f
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)=f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}+\Delta y\right)+f\left(x_{0},y_{0}\right)}
g
(
x
)
=
f
(
x
,
y
0
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
0
)
{\displaystyle g\left(x\right)=f\left(x,y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x,y_{0}\right)}
S
(
Δ
x
,
Δ
y
)
=
g
(
x
0
+
Δ
x
)
−
g
(
x
0
)
{\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left(x_{0}+\Delta x\right)-g\left(x_{0}\right)}
g
{\displaystyle g}
평균값 정리 에 의하여
x
0
+
Δ
x
{\displaystyle x_{0}+\Delta x}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
g
(
x
0
+
Δ
x
)
−
g
(
x
0
)
=
g
′
(
x
¯
)
Δ
x
{\displaystyle g\left(x_{0}+\Delta x\right)-g\left(x_{0}\right)=g'\left({\bar {x}}\right)\Delta x}
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
S
(
Δ
x
,
Δ
y
)
=
[
∂
f
∂
x
(
x
¯
,
y
0
+
Δ
y
)
−
∂
f
∂
x
(
x
¯
,
y
0
)
]
Δ
x
{\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}+\Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}\right)\right]\Delta x}
평균값 정리 를 다시 한 번 적용하면
f
x
{\displaystyle f_{x}}
평균값 정리 에 의하여
y
0
+
Δ
y
{\displaystyle y_{0}+\Delta y}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
∂
f
∂
x
(
x
¯
,
y
0
+
Δ
y
)
−
∂
f
∂
x
(
x
¯
,
y
0
)
=
∂
2
f
∂
y
∂
x
(
x
¯
,
y
¯
)
Δ
y
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}+\Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)\Delta y}
y
¯
{\displaystyle {\bar {y}}}
S
(
Δ
x
,
Δ
y
)
=
∂
2
f
∂
y
∂
x
(
x
¯
,
y
¯
)
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)\Delta y\Delta x}
∂
2
f
∂
y
∂
x
(
x
¯
,
y
¯
)
=
S
(
Δ
x
,
Δ
y
)
Δ
x
Δ
y
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)={\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}}
∂
2
f
∂
y
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}
연속 이므로
lim
(
Δ
x
,
Δ
y
)
→
(
0
,
0
)
S
(
Δ
x
,
Δ
y
)
Δ
x
Δ
y
=
∂
2
f
∂
y
∂
x
(
x
,
y
)
{\displaystyle \lim _{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}{\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left(x,y\right)}
∂
2
f
∂
x
∂
y
(
x
,
y
)
=
lim
(
Δ
x
,
Δ
y
)
→
(
0
,
0
)
S
(
Δ
x
,
Δ
y
)
Δ
x
Δ
y
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left(x,y\right)=\lim _{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to \left(0,0\right)}{\frac {S\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}}}
f
x
y
=
f
y
x
{\displaystyle f_{xy}=f_{yx}}
밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.
V
=
π
r
2
h
3
{\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}}
여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.
∂
V
∂
r
=
2
π
r
h
3
{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}}
또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.
∂
V
∂
h
=
π
r
2
3
{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}}
Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0 伍胜健 (2010년 8월). 《数学分析. 第三册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-17675-7
이 부분의 본문은 기울기 (벡터)입니다.
![{\displaystyle S\left(\Delta x,\Delta y\right)=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}+\Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\left({\bar {x}},y_{0}\right)\right]\Delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fad27969f8e2978a036b34bb081c5dfccc29c3)
