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보렐-베유-보트 정리

리 군 이론에서, 보렐-베유-보트 정리(영어: Borel–Weil–Bott theorem)는 반단순 리 군기약 표현을 어떤 복소수 선다발층 코호몰로지 군으로 나타내는 정리이다.

정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 복소수 반단순 리 군  
  • 극대 원환면  
  • 보렐 부분군  
  •  의 멱일 근기  . 특히  이다.
     
  •  정수 무게  . 즉, 군 표현  .

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

  • 사영 사상  을 통한  군 표현  
  •  -주다발  에 대한,  연관 벡터 다발  . 이는 복소수 선다발이다.
  •   계수의 층 코호몰로지 . 이는 각 자연수  에 대한 복소수 벡터 공간이다.
  • 또한,    위에 (왼쪽에서) 작용하므로,  는 층 코호몰로지 군   위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수  왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 다음을 정의할 수 있다.

  •   의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자.
  • 정수 무게  바일 군  의 임의의 원소  에 대하여, 작용  . 이에 따라 바일 군정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다.
  •  콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.

이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.

  1. 바일 군 작용에 대한,  안정자군자명군이 아니다 ( ). 이는 임의의  에 대하여  가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근  에 대하여  인 것과 동치이다.
  2.  우세 무게가 되는 바일 군 원소  가 유일하게 존재한다. 이를  라고 하자. 또한, 우세 무게  에 대응하는  기약 표현 라고 하자.

그렇다면, 각 경우에 대하여 보렐-베유-보트 정리에 따르면 층 코호몰로지 군  는 다음과 같다.

  1.  
  2.  

특히, 이미  우세 무게인 경우, 항상 경우 2가 성립하며,  이자  이다. 이 경우를 보렐-베유 정리라고 한다.

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다음과 같은 경우를 생각하자.

  •   (2×2 복소수 특수 선형군)
  •   (상삼각 행렬로 구성된 부분군)
  •  
  •  
  •   (리만 구)
  • 정수 무게  . 이는 정수  에 대하여  ,  으로 주어진다.
  • 선다발  리만 구표준 선다발의 거듭제곱  이다.
  •  의 근계는 1차원이며, 하나의 양근 2를 갖는다. 즉  이다.

이에 따라, 보렐-베유-보트 정리에 의하면

 

는 표준 (2차원) 표현의  차 대칭 거듭제곱이다.

역사편집

아르망 보렐앙드레 베유우세 무게에 대한 경우(즉, 0차 층 코호몰로지에 대응하는 경우)를 증명하였다. 이후 라울 보트가 이를 일반적 정수 무게에 대한 경우(즉, 고차 코호몰로지에 대응하는 경우)로 일반화하였다.

참고 문헌편집

  • Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (1989). 《The Penrose transform: its interaction with representation theory》 (영어). Oxford University Press. 

외부 링크편집