보렐-베유-보트 정리

리 군 이론에서, 보렐-베유-보트 정리(영어: Borel–Weil–Bott theorem)는 반단순 리 군의 기약 표현을 어떤 복소수 선다발의 층 코호몰로지 군으로 나타내는 정리이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

복소수 반단순 리 군 $G$
극대 원환면 $T\leq G$
보렐 부분군 $T\leq B\leq G$
$B$ 의 멱일 근기 $U\leq B\leq G$ . 특히 $B/U=T$ 이다.
${\begin{matrix}T&\subset &B&\subset &G\\&&\cup \\&&U\end{matrix}}$
$T$ 의 정수 무게 $\lambda \colon \operatorname {Lie} (T)^{*}\to \mathbb {C}$ . 즉, 군 표현 $T\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\operatorname {Unit} (\mathbb {C} )$ .

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

사영 사상 $B\twoheadrightarrow B/U=T$ 을 통한 $B$ 의 군 표현 $C_{\lambda }\colon B\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )$
$B$ -주다발 $G\twoheadrightarrow G/B$ 에 대한, $C_{\lambda }$ 의 연관 벡터 다발 $(G\times \mathbb {C} )/B=L_{-\lambda }$ . 이는 복소수 선다발이다.
$L_{-\lambda }$ 계수의 층 코호몰로지 군 $\operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })$ . 이는 각 자연수 $i$ 에 대한 복소수 벡터 공간이다.
또한, $G$ 가 $(G\times \mathbb {C} )/B=L_{-\lambda }$ 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, $G$ 는 층 코호몰로지 군 $\operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })$ 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 $\mathbb {C} [G]$ 의 왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 다음을 정의할 수 있다.

$\rho$ 가 $G$ 의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자.
정수 무게 $\lambda$ 및 바일 군 $\operatorname {W} (G)$ 의 임의의 원소 $w\in \operatorname {W} (G)$ 에 대하여, 작용 $w\lambda =w(\lambda +\rho )-\rho$ . 이에 따라 바일 군은 정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다.
$\operatorname {length} \colon \operatorname {W} (G)\to \mathbb {N}$ 은 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.

이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.

바일 군 작용에 대한, $\lambda$ 의 안정자군은 자명군이 아니다 ( $\exists w\neq 1\colon w\lambda =\lambda$ ). 이는 임의의 $w\in \operatorname {W} (G)$ 에 대하여 $w\lambda$ 가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근 $\beta$ 에 대하여 $\langle \lambda |\beta ^{\vee }\rangle =0$ 인 것과 동치이다.
$w\lambda$ 가 우세 무게가 되는 바일 군 원소 $w\in \operatorname {W} (G)$ 가 유일하게 존재한다. 이를 $w_{\lambda }$ 라고 하자. 또한, 우세 무게 $w\lambda$ 에 대응하는 $G$ 의 기약 표현이 $G\to \operatorname {GL} (V)$ 라고 하자.

그렇다면, 각 경우에 대하여 보렐-베유-보트 정리에 따르면 층 코호몰로지 군 $\operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })$ 는 다음과 같다.

$\forall i\in \mathbb {N} \colon \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })=0$
$\operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })={\begin{cases}0&i\neq \operatorname {length} (w_{\lambda })\\V^{*}&i=\operatorname {length} (w_{\lambda })\end{cases}}$

특히, 이미 $\lambda$ 가 우세 무게인 경우, 항상 경우 2가 성립하며, $w_{\lambda }=1$ 이자 $\operatorname {length} (w_{\lambda })=0$ 이다. 이 경우를 보렐-베유 정리라고 한다.

다음과 같은 경우를 생각하자.

$G=\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )$ (2×2 복소수 특수 선형군)
$B=\operatorname {B} (2;\mathbb {C} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {C} \setminus \{0\},\;b\in \mathbb {C} \right\}$ (상삼각 행렬로 구성된 부분군)
$U=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\colon b\in \mathbb {C} \right\}$
$T=B/U\cong \mathbb {C} ^{\times }$
$G/B\cong \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}$ (리만 구)
정수 무게 $\lambda$ . 이는 정수 $n\in \mathbb {Z}$ 에 대하여 $\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }$ , $z\mapsto z^{n}$ 으로 주어진다.
선다발 $L_{-\lambda }$ 는 리만 구의 표준 선다발의 거듭제곱 ${\mathcal {O}}(n)$ 이다.
$G=A_{1}$ 의 근계는 1차원이며, 하나의 양근 2를 갖는다. 즉 $\rho =1$ 이다.